Bab 9 Pembezaan


9.8 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:
Lengkung y = x3 – 6x2 + 9x + 3 melalui titik P (2, 5) dan mempunyai dua titik pusingan A (3, 3) dan B.
Cari
(a) kecerunan lengkung itu pada P.
(b) persamaan normal kepada lengkung itu pada P.
(c) koordinat B dan menentukan sama ada B adalah titik maksimum atau titik minimum.


Penyelesaian:
(a)
y = x3 – 6x2 + 9x + 3
dy/d= 3x2 – 12x + 9
di titik P (2, 5),
dy/d= 3(2)2 – 12(2) + 9 = –3
Kecerunan lengung pada titik P = –3.

(b)
Kecerunan normal pada titik P = ⅓
persamaan normal pada P (2, 5):
yy1 = m (x - x1)
y – 5 = ⅓ (x– 2)
3y – 15 = x – 2
3y = x + 13

(c)
Pada titik pusingan dy/dx= 0.
3x2 – 12x + 9 = 0
x2 – 4x + 3 = 0
(x – 1)( x – 3) = 0
x – 1 = 0 atau x – 3 = 0
x = 1 atau x = 3 (titik A)

Pada titik B:
x = 1
y = (1)3– 6(1)2 + 9(1) + 3 = 7
Maka, koordinat = (1, 7)

Apabila x=1,  d 2 y d x 2 =6x12 d 2 y d x 2 =6( 1 )12 d 2 y d x 2 =6<0 d 2 y d x 2 <0, B ialah titik maksimum.



Soalan 4:
 

Rajah di atas menunjukkan sebuah kon dengan diameter 0.8m dan tinggi 0.6m. Air dituang ke dalam kon dengan kadar tetap 0.02m3s-1. Cari kadar perubahan tinggi paras air pada ketika tinggi parasnya ialah 0.5m.


Penyelesaian:


Isipadu air, I= 1 3 π j 2 h I= 1 3 π ( 2 3 h ) 2 h I= 4 27 π h 3 dI dh =( 3 ) 4 27 π h 2 dI dh = 4 9 π h 2


Kadar perubahan tinggi paras air pada ketika tinggi parasnya ialah 0.5m = d h d t .

dh dt = dh dI × dI dt  Petua rantai  dh dt = 9 4π h 2 ×0.02  Diberi  dI dt =0.02  dh dt = 9 4π ( 0.5 ) 2 ×0.02 dh dt =0.0572 m s 1

Katakan,
h = tinggi paras air
j = jejari permukaan air
I = isipadu air

j h = 0.4 0.6  Konsep segitiga serupa  j h = 2 3 j= 2 3 h

 

Bab 9 Pembezaan

9.7 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:
Bezakan ungkapan 2x (4x2 + 2x - 5) terhadap x.

Penyelesaian:
2x (4x2 + 2x – 5) = 8x3 + 4x2– 10x
d/dx (8x3 + 4x2 – 10x)
= 24x + 8x –10 


Soalan 2:
Diberi y= x 3 +2 x 2 +1 3x , cari  dy dx .

Penyelesaian:
y= x 3 +2 x 2 +1 3x y= x 3 3x + 2 x 2 3x + 1 3x y= x 2 3 + 2x 3 + 1 3 x 1 dy dx = 2x 3 + 2 3 1 3 x 2 dy dx = 2x 3 + 2 3 1 3 x 2



Soalan 3:
Diberi y= 3 5x+1 , cari  dy dx

Penyelesaian:
y= 3 5x+1 =3 ( 5x+1 ) 1 2 dy dx = 1 2 .3 ( 5x+1 ) 3 2 ( 5 ) dy dx = 15 2 [ ( 5x+1 ) 3 ] 1 2 dy dx = 15 2 ( 5x+1 ) 3


Soalan 4: 
Cari  ds dt  bagi setiap fungsi yang berikut. (a) s= ( t 3 t ) 2 (b) s= ( t+1 )( 35t ) t 2

Penyelesaian:
(a)
s= ( t 3 t ) 2 s=( t 3 t )( t 3 t ) s= t 2 6+ 9 t 2 s= t 2 6+9 t 2 ds dt =2t18 t 3 =2t 18 t 3 ds dt =2t 18 t 3

(b)
s= ( t+1 )( 35t ) t 2 s= 3t5 t 2 +35t t 2 s= 5 t 2 2t+3 t 2 s=5 2 t + 3 t 2 s=52 t 1 +3 t 2 ds dt =2 t 2 6 t 3 ds dt = 2 t 2 6 t 3



Soalan 5:
Diberi y= 3 5 u 5 , dengan keadaan u=4x+1.  Cari   dy dx  dalam sebutan x.  

Penyelesaian:
y= 3 5 u 5 , u=4x+1 y= 3 5 ( 4x+1 ) 5 dy dx =5. 3 5 ( 4x+1 ) 4 .4 dy dx =12 ( 4x+1 ) 4


Bab 1 Fungsi


Bab 1 Fungsi

1.1 Hubungan
1.   Hubungan memasangkan unsur-unsur dalam set A(domain) dengan unsur-unsur dalam set mengikut definasi hubungan itu.
2.   Hubungan boleh diwakilkan dalam 3 bentuk:
(a)   Pasangan bertertib
(b)    Gambar rajah anak panah
(c)    Graf







Bab 1 Fungsi


1.1a Domain and Kodomain
  1. Dalam hubungan antara satu set dengan set yang lain, set pertama dikenali sebagai  domain dan set kedua dikenali sebagai kodomain.
  2. Unsur-unsur dalam domain dinamakan objek, manakala unsur-unsur dalam kodomain dipadankan dengan objek dinamakan imej.
  3. Unsur-unsur dalam kodomain tidak dipadankan dengan objek adalah bukan imejnya.
  4. Semua imej dalam kodomain boleh ditulis sebagai satu set dinamakan julat.
 
Contoh:


Domain = {3, 4, 5}
Kodomain = {7, 9, 12, 15}
Julat = {9, 12, 15} [7 bukan satu imej kerana ia tidak dipadankan dengan sebarang objek]

3 ialah objek bagi 9, 12 dan 15.
4 ialah object bagi 12.
5 ialah object bagi 15.

9, 12 dan 15 ialah imej bagi 3.
12 ialah imej bagi 4.
15 ialah imej bagi 5.
 

Bab 7 Statistik


7.4.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5:
Jadual 1 menunjukkan taburan kekerapan longgokan bagi skor 80 kanak-kanak dalam suatu
pertandingan.

 Jadual 1

(a) Berdasarkan Jadual 1 di atas, salin dan lengkapkan Jadual 2.

Jadual 2

(b) Tanpa melukis ogif, cari julat antara kuartil bagi taburan itu.


Penyelesaian:
(a)

(b)
Julat antara kuartil = Kuartil ketiga – Kuartil pertama

Kelas kuartil ketiga, k3 = ¾ × 80 = 60
Maka kelas kuartil ketiga ialah kelas 60 – 69.

Kelas kuartil pertama, k1 = ¼ × 80 = 20
Maka kelas kuartil pertama ialah kelas 30 – 39.

Julat antara kuartil
= L Q 3 + ( 3 N 4 F f Q 3 ) c L Q 1 + ( N 4 F f Q 1 ) c = 59.5 + ( 3 4 ( 80 ) 59 10 ) 10 29.5 + ( 1 4 ( 80 ) 7 18 ) 10 = 59.5 + 1 ( 29.5 + 7.22 ) = 23.78


Bab 7 Statistik

7.4 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:
Min bagi data 1, a, 2 a, 8, 9 dan 15 setelah disusun mengikut tertib menaik ialah b. Jika setiap nombor dalam data ditolak dengan 3, median baru ialah 4 7 b Cari
(a) nilai a dan b,
(b) varians bagi data baru.

Penyelesaian:
(a)
Min  x ¯ =b 1+a+2a+8+9+15 6 =b
33 + 3a = 6b
3a = 6b – 33
a = 2b – 11 ---- (1)

Median baru = 4b 7 ( 2a3 )+( 83 ) 2 = 4b 7 2a+2 2 = 4b 7
14a + 14 = 8b
7a = 4b – 7 ---- (2)

Gantikan (1) ke dalam (2),
7(2b – 11) = 4b – 7
14b – 77 = 4b – 7
10b = 70
b = 7

Dari (1),
a = 2(7) – 11 = 3

(b)
Data baru ialah (1 – 3), (3 – 3), (6 – 3), (8 – 3), (9 – 3), (15 – 3)
Maka data baru ialah – 2, 0, 3, 5, 6, 12

Varians,  σ 2 = x 2 N x ¯ 2 σ 2 = ( 2 ) 2 + ( 0 ) 2 + ( 3 ) 2 + ( 5 ) 2 + ( 6 ) 2 + ( 12 ) 2 6           ( 2+0+3+5+6+12 6 ) 2 σ 2 = 218 6 16=20.333



Soalan 4:
Satu set data mengandungi 20 nombor. Min bagi nombor itu ialah 8 dan sisihan piawai ialah 3.
(a) Hitungkan  ∑x  dan  ∑x2.
(b) Hasil tambah nombor tertentu ialah 72 dengan min ialah 9 dan hasil tambah kuasa dua nombor-nombor itu ialah 800, dikeluarkan dari set 20 nombor itu. Hitung min dan sisihan piawai baki nombor.

Penyelesaian:
(a)
Min  x ¯ = x N 8= x 20 x=160  

Sisihan piawai, σ= x 2 N x ¯ 2 3= x 2 N x ¯ 2 9= x 2 20 8 2 x 2 20 =73 x 2 =1460

(b)
Hasil tambah nombor tertentu, M ialah 72 dengan min 9,
72 M =9 M=8

Min baki nombor
= 16072 208 =7 1 3

Varians baki nombor
= 1460800 12 ( 7 1 3 ) 2 =5553 7 9 =1 2 9


Bab 7 Statistik


7.4.1 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:
Jadual di bawah menunjukkan umur 40 orang pelancong melawat suatu tempat pelancongan.

Diberi umur median ialah 35.5, cari nilai m dan n.

Penyelesaian:
Diberi umur median ialah 35.5,


22 + m + n = 40
n = 18 – m -----(1)
Diberi umur median = 35.5, maka kelas median ialah 30 – 39.
35.5 = 29.5 + ( 20 ( 4 + m ) n ) × 10 6 = ( 16 m n ) × 10  
6n = 160 – 10m
3n = 80 – 5m -----(2)

Gantikan (1) ke dalam (2).
3 (18 – m) = 80 – 5m
54 – 3m = 80 – 5m
2m = 26
m = 13

Ganti m = 13 ke dalam (1).
n = 18 – 13
n = 5
Dengan itu, m = 13, = 5.


Soalan 2:
Satu set markah ujian x1, x2, x3, x4, x5, x6 mempunyai min 6 dan sisihan piawai 2.4.
(a) Cari
(i) hasil tambah markah itu, ∑x,
(ii) hasil tambah kuasa dua markah itu, ∑x2.

(b) Setiap markah itu didarab dengan 2 dan kemudian ditambah dengan 3. Cari bagi set markah baru itu,
(i) min,
(ii) varians.

Penyelesaian:
(a)(i)
Diberi min = 6 Σ x 6 = 6 Σ x = 36

(a)(ii)
Diberi σ=2.4 σ 2 = 2.4 2 Σ x 2 n X ¯ 2 =5.76 Σ x 2 6 6 2 =5.76 Σ x 2 6 =41.76 Σ x 2 =250.56

(b)(i)
Markah min baru
= 6(2) + 3
= 15

(b)(ii)
Varians bagi set markah asal
 = 2.42 = 5.76

Varians bagi set markah baru
= 22 (5.76)
= 23.04

Bab 7 Statistik

7.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 3:
Min bagi lima nombor ialah p . hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah  120 dan sisihan piawai ialah 2q. Ungkap p dalam sebutan q.

Penyelesaian:
Min  x ¯ = x N p = x 5 x=5 p Sisihan piawai, σ= x 2 N x ¯ 2 2q= 120 5 ( p ) 2 4 q 2 =24p p=244 q 2


Soalan 4:
Satu set integer positif terdiri daripada 1, 4 dan p. Varians bagi set integer ini ialah 6. Cari nilai p.

Penyelesaian:
Varians,  σ 2 = x 2 N x ¯ 2 6= 1 2 + 4 2 + p 2 3 ( 1+4+p 3 ) 2 6= 17+ p 2 3 ( 5+p 3 ) 2 6= 17+ p 2 3 [ 25+10p+ p 2 9 ] 6= 51+3 p 2 2510p p 2 9
2p2 – 10p + 26 = 54
2p2 – 10p + 28 = 0
p2 – 5p + 14 = 0
(p – 7)(p + 2) = 0
p= –2 (tidak diterima)
Maka p = 7

Bab 7 Statistik

7.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Sisihan piawai bagi lima nombor ialah 6 dan hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah 260. Cari min bagi set nombor itu.

Penyelesaian:
Diberi σ=6Σ x 2 =260. σ=6 Σ x 2 n X ¯ 2 =6 Σ x 2 n X ¯ 2 =36 260 5 X ¯ 2 =36 X ¯ 2 =16 X ¯ =±4 min = ±4



Soalan 2:
Kedua-dua min dan sisihan piawai bagi set nombor 1, 3, 7, 15, m dan n ialah 6.  Cari
(a) nilai m+ n,
(b) nilai yang mungkin bagi n.

Penyelesaian:
(a)
Diberi min = 6 Σx n =6 Σx 6 =6  
1 + 3 + 7 + 15 + m + n= 36
26 + m + n = 36
m + n = 10

(b)
σ=6 σ 2 =36 Σ x 2 n X ¯ 2 =36 1+9+49+225+ m 2 + n 2 6 6 2 =36 284+ m 2 + n 2 6 36=36 284+ m 2 + n 2 6 =72  
284 + m2 + n2 = 432
m2 + n2 = 148
Daripada (a), m = 10 – n
(10 – n)2 + n2 = 148
100 – 20n + n2+ n2 = 148
2n2 – 20n – 48 = 0
n2 – 10n – 24 = 0
(n – 6)(n + 4) = 0
n = 6   atau   n = –4 

Bab 7 Statistik


7.1c Median
1.   Median ialah nilai yang terletak di tengah-tengah sesuatu set data setelah set data itu disusun mengikut tertib tertentu.


(A)   Data Tak Terkumpul

     Median, m=Cerapa n n+1 2    


Contoh 1:
Cari median bagi setiap set data yang berikut.
(a) 15, 18, 21, 25, 20, 18
(b) 13, 6, 9, 17, 11

Penyelesaian:
(a)
Susun data mengikut tertib menaik
15, 18, 18, 20, 21, 25

Median =Cerapa n n+1 2 =Cerapa n 6+1 2 =Cerapa n 3 1 2 = 18+20 2 =19  

(b)
6, 9, 11, 13, 17

Median = C e r a p a n n + 1 2 = C e r a p a n 5 + 1 2 = C e r a p a n 3 = 11
 


(B) Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

     Median, m=Cerapa n n+1 2    


Contoh
2:
Jadual kekerapan yang berikut menunjukkan markah ujian biologi bagi 40 orang pelajar.

Hitung markah median.

Penyelesaian:
Median =Cerapa n n+1 2 =Cerapa n 40+1 2 =Cerapa n 20 1 2 =60(Cerapan ke-20 1 2  ialah 60 markah)



(C)   Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)
 
m = median
L = sempadan bawah kelas median
N = jumlah kekerapan
F = kekerapan longgokan sebelum kelas median
fm = kekerapan kelas median
c = saiz kelas median (Sempadan atas kelas – sempadan bawah kelas)

1.
  Median boleh ditentukan daripada jadual kekerapan longgokan dan ogif.


Contoh
3:
Jadual yang berikut menunjukkan taburan skor yang diperoleh 100 orang pelajar tingkatan 4 dalam satu pertandingan.

Cari median.

Penyelesaian:
Kaedah 1: guna rumus



Langkah 1:
Kelas median = Cerapa n n 2 = Cerapa n 100 2 =Cerapa n 50 Maka kelas median berada di 2024

Langkah 2:
m = L + ( N 2 F f m ) c m = 19.5 + ( 100 2 33 26 ) 5 m = 19.5 + 3.269 = 22.77

Read more Bab 7 Statistik