Bab 8 Sukatan Membulat


8.4.1 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:


Rajah di atas menunjukkan sektor OCB yang berjejari 13 cm dan berpusat O. panjang lengkok

CB = 5.2 cm. Cari
(a) ∠COB in radian,
(b) perimeter kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)
s = jθ
5.2 = 13 (∠COB)
∠COB = 0.4 radian

(b)
cos C O B = O A O C cos 0.4 = O A 13 (tukar kalkulator kepada mode Rad) O A = 11.97 cm A B = 13 11.97 = 1.03 cm C A = 13 2 11.97 2 C A = 5.07 cm

Perimeter kawasan berlorek = 5.07 + 1.03 + 5.2 = 11.3 cm.


Soalan 2:
 
Rajah menunjukkan sektor AOB suatu bulatan, berpusat O dan berjejari 5 cm. Panjang
lengkok
AB ialah 6cm. Cari luas
(a) sektor AOB,
(b) kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)
Lengkok AB = 6cm
s = jθ
6 = 5θ
θ = 6/5 rad
Luas sektor AOB
= 1 2 j 2 θ = 1 2 ( 5 ) 2 ( 6 5 ) = 15 c m 2

(b)
Luas kawasan berlorek
= 1 2 j 2 ( θ sin θ ) ( tukar kalkulator kepada mode Rad ) = 1 2 ( 5 ) 2 ( 6 5 sin 6 5 ) = 3.35 cm 2


Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan sektor QOR bagi sebuah bulatan berpusat O.

Diberi bahawa PS = 8 cm dan QP = PO = OS= SR = 5 cm.
Cari
(a) panjang, dalam cm, lengkok QR,
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)   Panjang lengkok QR = jθ = 10 (1.75) = 17.5 cm

(b)
Luas kawasan berlorek
= Luas sektor QOR– Luas segitiga POS
= ½ (10)2(1.75) – ½ (5) (5) sin 1.75 (Kalkulator ditukar kepada mode RAD)
= 87.5 – 12.30
= 75.2 cm2
 

Bab 8 Sukatan Membulat


8.5.1 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:
Rajah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 8 cm terterap dalam sektor SPT bagi sebuah bulatan berpusat P.  Garis lurus SP dan garis lurus TP adalah tangen kepada bulatan masing-masing di titik Q dan titik R.

[Guna π = 3.142]
Hitung
(a) panjang, dalam cm, lengkok ST,
(b) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.   


Penyelesaian:
(a)
Bagi segitiga OPQ,
sin 30 = 8 O P O P = 8 sin 30 = 16 cm
Jejari bagi sektor SPT = 16 + 8 = 24 cm
S P T = 60 × 3.142 180 = 1.047 radian
Panjang lengkok ST = 24 × 1.047 = 25.14 cm

(b)
Bagi segitiga OPQ,
tan 30 = 8 Q P P Q = 8 tan 30 = 13.86 cm
QOR = 2(60o) = 120o
Sudut refleks ∠QOR = 360o – 120o = 240o
240 = 3.142 180 × 240 = 4.189 radian

Luas kawasan berlorek
= (Luas sektor SPT) – (Luas sector major OQR) – (Luas ∆ OPQ dan ∆ OPR)
= ½ (24)2 (1.047) – ½ (8)2 (4.189) – 2 (½ × 8 × 13.86)
= 301.54 – 134.05 – 110.88
= 56.61 cm2

Bab 8 Sukatan Membulat


8.2 Panjang Lengkok Sesuatu Bulatan
(A) Rumus Panjang Lengkok dan Luas Bulatan


j = jejari, L= luas, s = panjang lengkok, θ = sudut dalam radian, l = panjang perentas 


(B)   Panjang Lengkok Sesuatu Bulatan
 


Contoh 1:
Suatu lengkok AB, yang berjejari 5 cm mencangkuk sudut 1.5 radian pada pusat bulatan.
Cari panjang lengkok AB.

Penyelesaian
:
s =
Panjang lengkok AB = (5)(1.5) = 7.5 cm



Contoh 2:
Suatu lengkok PQ, yang berjejari 12 cm mencangkuk sudut 30o pada pusat bulatan.
Cari panjang lengkok PQ.

Penyelesaian
:
Panjang lengkok PQ
= 12 × 30 × π 180 = 6.283 cm




Contoh 3:


Bagi rajah di atas, cari
(a) panjang lengkok minor AB
(b) panjang lengkok major APB

Penyelesaian:
(a)    
panjang lengkok minor AB = jθ
= (7)(0.354)
= 2.478 cm


(b)    
360o = 2π radian, sudut refleks AOB
= (2π – 0.354) radian.

Panjang lengkok major APB
= 7 × (2π – 0.354)
= 7 × [(2)(3.1416) – 0.354]
= 7 × 5.9292
= 41.5044 cm
 

Bab 8 Sukatan Membulat


8.3 Luas Sektor Sesuatu Bulatan

(A) Luas Sektor Sesuatu Bulatan
1.   Jika sesuatu bulatan dibahagikan kepada dua sektor yang berlainan saiz, sektor yang lebih kecil dikenali sebagai sektor minor manakala sektor yang lebih besar dikenali sebagai sektor major.



2.  Jika AOB ialah luas sektor suatu bulatan yang berjejari j, dan sudut θ radian yang tercangkum pada pusat bulatan O, maka



Contoh 1:


Dalam rajah di atas, cari luas sektor OAB.

Penyelesaian:
Luas sektor OAB
= ½ j2θ
= ½ (10)2(0.354)
= 17.7 cm2



(B)  Mencari Luas Tembereng Sesuatu Bulatan
 


Contoh 2:

  
Rajah di atas menunjukkan sebuah sector bulatan yang berpusat O yang mempunyai jejari 6 cm.
Panjang lengkok AB ialah 8 cm. Cari
(i) ∠ AOB
(ii) luas tembereng berlorek.

Penyelesaian:
(i) Panjang lengkok AB = 8 cm
= 8
6θ = 8
θ = 1.333 radian
∠AOB = 1.333 radian


(ii)   
Luas tembereng berlorek
= ½ j2 (θ – sinθ) (pastikan kalkulator dalam Mod Radian)
= ½ (6)2 (1.333 – sin1.333)
= ½ (36) (1.333 – 0.972)
= 6.498 cm2

Bab 10 Penyelesaian Segitiga


10.4.2 Penyelesaian Segitiga, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 2:


Rajah menunjukkan trapezium PQRS. PS adalah selari dengan QR dan ∠QRS ialah sudut cakah. Cari
 (a)  panjang, dalam cm, QS.
 (b)  panjang, dalam cm, RS.
 (c)  ∠QRS.
 (d)  luas, dalam cm2, segitiga QRS.


Penyelesaian:
(a)
Q S sin P = P S sin Q Q S sin 85 = 13.1 sin 28 Q S = 13.1 × sin 85 sin 28 Q S = 27.8 cm

(b)
∠RQS = 180o– 85o – 28o
∠RQS = 67o
Guna petua kosinus,
RS2 = QR2+ QS2 – 2 (QR)(QS) kos ∠RQS
RS2 = 6.42 + 27.82 – 2 (6.4)(27.8) kos 67o
RS2 = 813.8 – 139.04
RS2 = 674.76
RS = 25.98 cm

(c)
Guna petua kosinus,
QS2 = QR2+ RS2 – 2 (QR)(RS) kos ∠RQS
27.82 = 6.42+ 25.982 – 2 (6.4)(25.98) kos∠QRS
772.84 = 715.92 – 332.54 kos∠QRS
kos Q R S = 715.92 772.84 332.54
kos∠QRS = –0.1712
∠QRS = 99.86o

(d)
Luas segitiga QRS
= ½ (QR)(RS) sin R
= ½ (6.4) (25.98) sin 99.86o
= 81.91 cm2
 

Bab 10 Penyelesaian Segitiga


Bab 10 Penyelesaian Segitiga

10.1 Petua Sinus
Dalam suatu segitiga ABC, huruf besar A, B, digunakan untuk mewakili sudut di bucu-bucu A, B dan C masing-masing. Huruf kecil a, b, dan c untuk mewakili sisi BC, CA dan AB yang bertentangan dengan bucunya.




Petua sinus boleh digunakan untuk menyelesaikan sesuatu segitiga apabila
(i)  dua sudut dan satu sisi diberikan, atau
(ii) dua sisi dan satu sudut bukan kandung diberikan


(A) Jika 2 sudut dan 1 sisi diketahui ⇒ Petua Sinus

Contoh:


Hitung panjang AB, dalam cm.

Penyelesaian:
∠ACB = 180o – (50o + 70o) = 60o
A B sin 60 o = 4 sin 50 o A B = 4 × sin 60 o sin 50 o A B = 4.522 cm


(B) Jika 2 sisi dan 1 sudut diketahui (bukan di antara sisi) ⇒ Petua Sinus

Contoh:


Hitung ∠ACB

Penyelesaian:
28 sin 54 o = 26 sin A C B sin A C B = 26 × sin 54 o 28 sin A C B = 0.7512 A C B = 48.7 o  


(C) Mencari Sisi atau Sudut dalam Sesuatu Segitiga bagi Kes Berambiguiti

Contoh:


Hitung ∠ACB, θ.

Penyelesaian:
Dalam kes ini, terdapat dua kemungkinan dalam bentuk sigitiga.
AB = 26cm BC = 28 cm    ∠ BAC = 54o
26 sin θ = 28 sin 54 o
sin θ  = 0.7512
θ = sin -1 0.7512
θ = 48.7o, 180o – 48.7o
θ = 48.7o (sudut tirus), 131.3o (sudut cakah)


Bab 10 Penyelesaian Segitiga


10.2 Petua Kosinus
  

a
2 = b2+ c2 – 2bc kosA
b2 = a2+ c2 – 2ac kosB
c2 = a2+ b2 – 2ab kosC

Petua kosinus boleh digunakan untuk menyelesaikan sesuatu segitiga apabila
(i) dua sisi dan satu sudut kandung diberikan, atau
(ii) tiga sisi diberikan


(A) Jika 2 sisi dan 1 sudut kandung diberi ⇒
 Petua Kosinus

Contoh:


Hitung panjang AC, x, dalam cm bagi segitiga di atas.

Penyelesaian:
b2 = a2+ c2 – 2ac kosB
x2 = 42 + 72 – 2(4)(7) kos50o
x2 = 16 + 49 – 56 (0.6428)
x2 = 65 – 35.997
x2 = 29.003
x = 5.385 cm



(B) Jika 3 sisi diberi ⇒ Petua Kosinus

Contoh:


Hitung ∠BAC

Penyelesaian:
kosA= b 2 + c 2 a 2 2bc kosBAC= 7 2 + 6 2 8 2 2(7)(6)
kos∠BAC = 0.25
∠BAC = kos -1 0.25
∠BAC = 75.52o

Bab 10 Penyelesaian Segitiga


10.4.1 Penyelesaian Segitiga, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat ABCD.


Luas segitiga BCD ialah 12 cm2 dan ∠BCD ialah tirus. Hitung
 (a)  ∠BCD,
 (b)  Panjang, dalam cm, bagi BD,
 (c)  ∠ABD,
 (d)  luas, dalam cm2, sisi empat ABCD.


Penyelesaian:
(a)
Diberi luas ∆ BCD = 12 cm2
½ (BC) (CD) sin C = 12
½ (7) (4) sin C= 12
14 sin C = 12
sin C = 12/14 = 0.8571
C = 59o
∠BCD = 59o

(b)
Guna petua kosinus,
BD2 = CD2 + BC2 – 2 (4)(7) kos 59o
BD2 = 42 + 72 – 2 (4)(7) kos 59o
BD2 = 65 – 28.84
BD2 = 36.16
BD = 6.013 cm

(c)
Guna petua sinus,
A B sin 35 = 6.013 sin A 10 sin 35 = 6.013 sin A sin A = 6.013 × sin 35 10
sin A = 0.3449
A = 20.18o
∠ABD = 180o– 35o – 20.18o
= 124.82o

(d)
Luas sisi empat ABCD
= Luas ∆ ABD + Luas ∆ BCD
= ½ (AB)(BD) sin B + 12 cm
= ½ (10) (6.013) sin 124.82 + 12
= 24.68 + 12
= 36.68 cm

Bab 10 Penyelesaian Segitiga


10.3 Luas Segitiga


Luas segitiga =
½ absinC


Contoh:


Hitung luas segitiga rajah di atas.

Penyelesaian:
Luas ∆ = ½ ab sinC
= ½ (7)(4) sin40o
= 9 cm2


Contoh:


Rajah di atas menunjukkan sebuah segi tiga ABC, dengan keadaan AC = 8 cm dan ∠ C = 32o . Titik D terletak pada garis BC dengan keadaan BD = 10 cm dan ∠ ADB = 70o . Hitungkan
(a) panjang CD,
(b) luas ∆ ADC,
(c) luas ∆ ABC,
(d) panjang AB.

Penyelesaian:
(a)
ADC+ 70 o = 180 o ADC= 110 o CAD= 180 o 110 o 32 o CAD= 38 o Guna Petua Sinus, 8 sin 110 o = CD sin 38 o CDsin 110 o =8sin 38 o CD( 0.940 )=8( 0.616 ) CD=5.243

(b)
Luas ADC = 1 2 ( 8 )( 5.243 )sin 32 o =20.972( 0.530 ) =11.12  cm 2

(c)
Luas ABC = 1 2 ( 8 )( 10+5.243 )sin 32 o =60.972( 0.530 ) =32.315  cm 2

(d)
Guna Petua kosinus bagi ABC, A B 2 = 15.243 2 + 8 2 2( 15.243 )( 8 )kos 32 o A B 2 =232.35+64206.83 A B 2 =89.52 AB=9.462 cm