Bab 1 Fungsi


1.3a Fungsi Gubahan

  Jika fungsi f : XY,
  dan fungsi g : YZ,
  maka, fungsi gubahan gf: XZ




Soalan 1:
Diberi fungsi f : x → 2x + 5 dan g : xx2 – 1, cari gf (2)

Penyelesaian:
f (x) = 2x + 5
f (2) = 2(2) + 5 = 9
gf (2) = g [f (2)] = g (9)
 
g(x) = x2– 1
gf(2) = g(9) = 92 – 1 = 80



Soalan 2:
Jika : xx + 5 dan g : xx2 + 2x + 3, cari
(a) nilai gf (2),
(b) nilai fg (2 ),
(c) fungsi gubahanfg,
(d) fungsi gubahan gf,
(e) fungsi gubahan
 g2,
(f) fungsi gubahan f 2.
 
Penyelesaian:


Pembetulan bagi (c)
fg( x )=f( x 2 +2x+3 )  =( x 2 +2x+3 )+5  = x 2 +2x+3+5  = x 2 +2x+8



Pembetulan bagi (e)
g 2 ( x )=gg( x ) =g( x 2 +2x+3 ) = ( x 2 +2x+3 ) 2 +2( x 2 +2x+3 )+3 = x 4 +2 x 3 +3 x 2 +2 x 3 +4 x 2 +6x +3 x 2 +6x+9 = x 4 +4 x 3 +10 x 2 +12x+9

Bab 1 Fungsi

1.1c Jenis Hubungan
1. Hubungan boleh dikelaskan kepada 4 jenis, iaitu:
(a)  Hubungan satu kepada satu
(b)  Hubungan satu kepada banyak
(c)  Hubungan banyak kepada satu
(d)  Hubungan banyak kepada banyak




Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.4 Syarat untuk Jenis Punca Persamaan Kuadratik

2.4.1 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik
Jenis-jenis punca persamaan kuadratik ditentukan oleh nilai ungkapan b2 – 4 ac


   b2 – 4ac > 0   ↔  dua punca nyata yang berbeza
   b2 – 4ac = 0   ↔  dua punca nyata yang sama
   b2 – 4ac < 0   ↔  tiada punca nyata
   b2 – 4ac ≥ 0   ↔  punca nyata


Contoh:
Tentukan jenis punca bagi setiap persamaan kuadratik yang berikut. 
(a) 5x 2 – 7x + 3 = 0
(b) x 2 – 4x + 4 = 0
(c) –2x 2 + 5x 9 = 0

Penyelesaian:



Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.3c Cari Hasil Tambah Punca (HTP) dan Cari Hasil Darab Punca (HDP) bagi suatu Persamaan Kuadratik (Contoh)

Contoh:
Punca-punca bagi 2x 2 + 3x 1 = 0 adalah αdan β. Cari nilai-nilai berikut:
(a) ( α+1 )( β+1 ) (b)  1 α + 1 β (c)  α 2 β+α β 2 (d)  α β + β α [ Petunjuk: α 2 + β 2 = ( α+β ) 2 2αβ ]

Penyelesaian:





Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.3b Cari Hasil Tambah Punca (HTP) dan Cari Hasil Darab Punca (HDP) bagi suatu Persamaan Kuadratik


Contoh:
Cari hasil tambah punca dan hasil darab punca bagi persamaan yang berikut:
(a) x 2 + 7x 3 = 0
(b) x (x 1) = 5 (1 x)

Penyelesaian:
(a) x 2 + 7x 3 = 0
a = 1, b = 7, c = –3,

Hasil Tambah Punca (HTP) α+β= b a = 7 1 =7 Hasil Darab Punca (HDP) αβ= c a = 3 1 =3

(b)
x (x 1) = 5 (1 x)
x 2 x = 5 – 5x
x 2 x – 5 + 5x = 0
x 2 + 4x – 5 = 0
a = 1, b = 4, c = –5,

Hasil Tambah Punca (HTP) α+β= b a = 4 1 =4 Hasil Darab Punca (HDP) αβ= c a = 5 1 =5


Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.2c Penyelesaian Persamaan Kuadratik – Rumus Kuadratik

(A) Rumus Kuadratik
Persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0 boleh diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadratik.
  x= b± b 2 4ac 2a   
Contoh:
Selesaikan setiap persamaan yang berikut dengan menggunakan rumus. 
(a) x 2 + 5x 24 = 0
(b) x (x + 4 ) = 10

Penyelesaian:
(a) Bagi persamaan x 2 + 5x 24 = 0
a = 1, b = 5, c = 24,

Dari x= b± b 2 4ac 2a x= ( 5 )± ( 5 ) 2 4( 1 )( 24 ) 2( 1 ) x= 5± 121 2 x=8  or  x=3

(b) Bagi persamaan, x (x + 4 ) = 10
                                    x2 + 4x – 10 = 0
a = 1, b= 4, c = –10

Dari x= b± b 2 4ac 2a x= ( 4 )± ( 4 ) 2 4( 1 )( 10 ) 2( 1 ) x= 4± 56 2 x=1.742  or  x=5.742


Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.3a Pembentukan Persamaan Kuadratik daripada Punca

Apabila diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan ax 2 + bx + c = 0, maka


x = α                atau     x = β
x α = 0         atau     x β = 0
(x α) (x β) = 0
x 2 – ( α + β ) x + αβ = 0

Kesimpulan:
x 2 – (hasil tambah punca ) x + (hasil darab punca) = 0

Contoh:
Bentukkan persamaan kuadratik apabila punca-puncanya adalah seperti berikut:
(a)  3, 1
(b) 2, ¼
(c) , ¼
(d) 3m,2m

Penyelesaian:





Bab 15 Vektor

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 2:
Diberi AB =( 10 14 ),  OB =( 4 6 ), dan  CD =( m 7 ), carikan
(a)  koordinat A,
(b)  vektor unit dalam arah OA
(c)  nilai m jika CD selari dengan AB.       

Penyelesaian:  
(a)
AB =( 10 14 ),  OB =( 4 6 ) CD =( m 7 ) AB = AO + OB ( 10 14 )=( x y )+( 4 6 ) ( x y )=( 10 14 )( 4 6 ) AO =( 6 8 ) OA =( 6 8 ) A=( 6,8 )

(b)
| OA |= ( 6 ) 2 + ( 8 ) 2 | OA |= 100 =10 the unit vector in the direction of  OA = OA | OA | = ( 6 8 ) 10 = 1 10 ( 6 8 ) =( 3 5 4 5 )

(c)
Given  CD  parallel  AB   CD =k AB ( m 7 )=k( 10 14 ) ( m 7 )=( 10k 14k )
7 = 14k
k= ½
m = 10k = 10 (½) = 5

Bab 15 Vektor

4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1) 
Soalan 5:
  p=5 a ˜ 7 b ˜   q=2 a ˜ +3 b ˜   r=( h1 ) a ˜ +( h+k ) b ˜   dengan keadaan h dan k adalah pemalar  
Gunakan maklumat di atas untuk mencari nilai h dan nilai k apabila r= 2p – 3q.

Penyelesaian:
r=2p3q ( h1 ) a ˜ +( h+k ) b ˜ =2( 5 a ˜ 7 b ˜ )3( 2 a ˜ +3 b ˜ ) ( h1 ) a ˜ +( h+k ) b ˜ =10 a ˜ 14 b ˜ +6 a ˜ 9 b ˜ ( h1 ) a ˜ +( h+k ) b ˜ =16 a ˜ 23 b ˜

Bandingkan vektor,
h– 1 = 16
h = 17
h+ k = –23
17 + k = –23
k = –40



Soalan 6:
Titik-titik P, Qdan R adalah segaris. Diberi bahawa PQ =4 a ˜ 2 b ˜  dan  QR =3 a ˜ +( 1+k ) b ˜ , dengan keadaan kialah pemalar. Cari
(a)  nilai k,
(b)  nisbah PQ : QR.

Penyelesaian:
(a)
Jika P, Q dan R adalah segaris, PQ =m QR 4 a ˜ 2 b ˜ =m[ 3 a ˜ +( 1+k ) b ˜ ] 4 a ˜ 2 b ˜ =3m a ˜ +m( 1+k ) b ˜ Bandingan vektor: a ˜ : 4=3m         m= 4 3 b ˜ : 2=m( 1+k ) 2= 4 3 ( 1+k ) 1+k= 6 4 k= 3 2 1 k= 5 2

(b)
PQ =m QR PQ = 4 3 QR PQ QR = 4 3 PQ:QR=4:3



Soalan 7:
Diberi bahawa x ˜ =3 i ˜ +m j ˜  dan  y ˜ =4 i ˜ 3 j ˜ ,, cari nilai m jika vektor x ˜  selari dengan vektor  y ˜ .

Penyelesaian:
Jika vektor  x ˜  selari dengan vektor  y ˜ x ˜ =h y ˜ ( 3 i ˜ +m j ˜ )=h( 4 i ˜ 3 j ˜ ) 3 i ˜ +m j ˜ =4h i ˜ 3h j ˜ Bandingkan vektor: i ˜ :  3=4h         h= 3 4 j ˜ :  m=3h         m=3( 3 4 )= 9 4


Bab 15 Vektor


4.6.2 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat tepat OABC dan titik D terletak pada garis lurus OB.


Diberi bahawa OD = 3DBUngkapkan O D , dalam sebutan x ˜  dan  y ˜ .

Penyelesaian:
O B = O A + A B = 3 x ˜ + 12 y ˜ O D = 3 D B O D D B = 3 1 O D : D B = 3 : 1 O D = 3 4 O B = 3 4 ( 3 x ˜ + 12 y ˜ ) = 9 4 x ˜ + 9 y ˜



Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat selari ABCD dan BED ialah satu garis lurus.


Diberi bahawa  AB =7 p ˜ ,  AD =5 q ˜  dan DE=3EB,  ungkap dalam sebutan  p ˜  dan  q ˜ . (a)  BD (b)  EC

Penyelesaian:
(a)
Bagi segi empat selari, A B = D C = 7 p ˜ , A D = B C = 5 q ˜ . B D = B A + A D B D = 7 p ˜ + 5 q ˜

(b)
D E =3 E B E B D E = 1 3 E B : D E = 1 : 3 E B = 1 4 D B = 1 4 ( B D ) = 1 4 [ ( 7 p ˜ + 5 q ˜ ) ] Dari (a) = 7 4 p ˜ + 5 4 q ˜

E C = E B + B C E C = 7 4 p ˜ + 5 4 q ˜ + 5 q ˜ E C = 7 4 p ˜ + 25 4 q ˜