Bab 15 Vektor

4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Diberi bahawa O (0, 0), A(–3, 4) dan B(-9, 12), Cari dalam sebutan vektor unit i ˜  dan  j ˜  
(a) AB  
(b)  vektor unit dalam arah AB

Penyelesaian:  
(a)
A=(3,4), dengan itu  OA =3 i ˜ +4 j ˜ B=(9,12), dengan itu  OB =9 i ˜ +12 j ˜ AB = AO + OB AB =( 3 i ˜ +4 j ˜ )+( 9 i ˜ +12 j ˜ ) AB =3 i ˜ 4 j ˜ 9 i ˜ +12 j ˜ AB =6 i ˜ +8 j ˜  

(b)
Magnitud  | A B | , | A B | = ( 6 ) 2 + ( 8 ) 2 = 10 Maka vektor unit dalam arah  A B , A B | A B | = 1 10 ( 6 i ˜ + 8 j ˜ ) = 3 5 i ˜ + 4 5 j ˜



Soalan 2:
Diberi bahawa A(–3, 2), B(4, 6) dan C(m, n), cari nilai m dan n supaya 2 AB + BC =( 12 3 ).

Penyelesaian:  
A=( 3 2 ), B=( 4 6 ) and C=( m n ) AB = AO + OB AB =( 3 2 )+( 4 6 )=( 7 4 ) BC = BO + OC BC =( 4 6 )+( m n )=( 4+m 6+n )

Given 2 AB + BC =( 12 3 ) 2( 7 4 )+( 4+m 6+n )=( 12 3 ) ( 144+m 86+n )=( 12 3 )

10 + m = 12
m= 2

2 + n = –3
n= –5

Bab 14 Pengamiran


3.8.2 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan suatu lengkung = y2 – 1 yang bersilang dengan garis lurus 3y = 2x pada titik Q.

Hitungkan isipadu janaan apabila rantau berlorek itu dikisarkan melalui 360opada paksi-y.


Penyelesaian:



x
= y2 – 1 ---- (1)
3y = 2x
x = 3 2 y ( 2 ) Gantikan (2) ke dalam (1), 3 2 y = y 2 1

2y2 – 3y – 2 = 0
(2y + 1) (y – 2) = 0
y = –½   atau   y = 2

apabila y=2,x= 3 2 ( 2 )=3, Q=( 3, 2 ) I 1 ( Isipadu kon ) = 1 3 π r 2 h= 1 3 π ( 3 ) 2 ( 2 ) =6π  unit 3

I 2 ( Isipadu lengkung ) = π 1 2 x 2 d y = π 1 2 ( y 2 1 ) 2 d y = π 1 2 ( y 4 2 y 2 + 1 ) d y = π [ y 5 5 2 y 3 3 + y ] 1 2 = π [ ( 2 5 5 2 ( 2 ) 3 3 + 2 ) ( 1 5 5 2 ( 1 ) 3 3 + 1 ) ] = π ( 46 15 8 15 ) = 38 15 π unit 3

Maka isipadu janaan = I 1 I 2 = 6 π 38 15 π = 52 15 π unit 3


Bab 14 Pengamiran

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Fungsi kecerunan suatu lengkung melalui titik P(2, -14) ialah 6x2 – 12x.
Cari
(a)  persamaan lengkung itu,
(b)  koordinat titik-titik pusingan lengkung itu, dan tentukan sama ada setiap titik pusingan itu adalah maksimum atau minimum.                                                       

Penyelesaian:
(a)
Fungsi kecerunan suatu lengkung, dy/dx = 6x2 – 12x
persamaan lengkung,
y= ( 6 x 2 12x )  dx y= 6 x 3 3 12 x 2 2 +c

y = 2x3 – 6x2 + c
–14 = 2(2)3 – 6(2)2 + c, di titik P (2, –14)
–14 = –8 + c
c = –6
y = 2x3 – 6x2 – 6

(b)
dy/dx = 6x2 – 12x
Di titik pusingan, dy/dx = 0
6x2 – 12x = 0
6(x – 2) = 0
x = 0, x = 2

x = 0, y = 2(0)3 – 6(0)2 – 6 = –6
x = 2, y = 2(2)3 – 6(2)2 – 6 = –14

d 2 y d x 2 =12x12 When x=0 d 2 y d x 2 =12( 0 )12=12 <0 ( 0,6 ) adalah titik maksimum. When x=2 d 2 y d x 2 =12( 2 )12=12 >0 ( 2,14 ) adalah titik minimum.


Bab 14 Pengamiran

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
Suatu lengkung dengan fungsi kecerunan 5x 5 x 2  mempunyai titik pusingan di (m, 9).
(a)  Cari nilai m.
(b)  Tentukan sama ada titik pusingan ini adalah titik maksimum atau titik minimum.
(c)  Cari persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:
(a)
dy dx =5x 5 x 2 Di titik pusingan ( m,9 ),  dy dx =0 5m 5 m 2 =0 5 m 2 =5m m 3 =1 m=1 

(b)
dy dx =5x 5 x 2 =5x5 x 2 d 2 y d x 2 =5+ 10 x 3 Apabila x=1,  d 2 y d x 2 =15 (> 0)  
Dengan itu, (1, 9) adalah satu titik minimum.

(c)
y= ( 5x5 x 2 )  dx y= 5 x 2 2 + 5 x +c Pada titik pusingan ( 1,9 ), x=1 dan y=9. 9= 5 ( 1 ) 2 2 + 5 1 +c c= 3 2 Persamaan lengkung: y= 5 x 2 2 + 5 x + 3 2



Soalan 2:
Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan kx2– 7x, dengan keadaan k ialah pemalar. Tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus y + x – 4 = 0.
Cari
(a)  nilai k,
(b)  persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:
(a)
y + x – 4 = 0
y = – x + 4
m = –1

f ’(x) = kx2– 7x
Diberi tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus
kx2 – 7x = –1
k (1)2– 7 (1) = –1
k – 7 = –1
k = 6

(b)
f'( x )=6 x 2 7x f( x )= ( 6 x 2 7x )  dx f( x )= 6 x 3 3 7 x 2 2 +c 3=2 ( 1 ) 3 7 ( 1 ) 2 2 +c    di titik ( 1,3 ) c= 9 2 f( x )=2 x 3 7 x 2 2 + 9 2


Bab 14 Pengamiran


3.8.5 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = 2 ( 3 x 2 ) 2  yang melalui B (1, 2).


(a)   Carikan persamaan tangen kepada lengkung itu pada titik B.
(b)   Suatu rantau dibatasi oleh lengkung itu, paksi-x, garis lurus x = 2 dan = 3.
(i) Cari luas rantau yang berlorek.
(ii) Rantau itu dikisarkan melalui 360o pada paksi-x.
Carikan isipadu janaan, dalam sebutan π.


Penyelesaian:
(a)
y = 2 ( 3 x 2 ) 2 = 2 ( 3 x 2 ) 2 d y d x = 4 ( 3 x 2 ) 3 ( 3 ) d y d x = 12 ( 3 x 2 ) 3 d y d x = 12 ( 3 ( 1 ) 2 ) 3 , x = 1
y – 2 = –12 (x – 1)
y – 2 = –12x + 12
y = –12x + 14

(b)(i)
Area = 2 3 y d x = 2 3 2 ( 3 x 2 ) 2 d x = 2 3 2 ( 3 x 2 ) 2 d x = [ 2 ( 3 x 2 ) 1 1 ( 3 ) ] 2 3 = [ 2 3 ( 3 x 2 ) ] 2 3 = [ 2 3 [ 3 ( 3 ) 2 ] ] [ 2 3 [ 3 ( 2 ) 2 ] ] = 2 21 + 1 6 = 1 14 unit 2

(b)(ii)
Isipadu janaan
= π y 2 d x = π 2 3 4 ( 3 x 2 ) 4 d x = π 2 3 4 ( 3 x 2 ) 4 d x = π [ 4 ( 3 x 2 ) 3 3 ( 3 ) ] 2 3 = π [ 4 9 ( 3 x 2 ) 3 ] 2 3 = π [ 4 9 [ 3 ( 3 ) 2 ] 3 ] [ 4 9 [ 3 ( 2 ) 2 ] 3 ] = π ( 4 3087 + 4 576 ) = 31 5488 π unit 3


Bab 14 Pengamiran


3.8.3 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5
Dalam rajah di bawah, garis lurus WY ialah normal kepada lengkung y = 1 2 x 2 + 1  pada B (2, 4). Garis lurus BQ adalah selari dengan paksi-y.


Cari
(a) nilai t,
(b) luas rantau yang berlorek,
(c) Isipadu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung itu, paksi-dan garis lurus y = 4 dikisarkan melalui 360o pada paksi-y.


Penyelesaian:
(a)
y= 1 2 x 2 +1 Kecerunan tangen,  dy dx =2( 1 2 x )=x pada titik B dy dx =2 Kecerunan normal,  m 2 = 1 2 40 2t = 1 2 8=2+t t=10  

(b)
Luas rantau yang berlorek
= Luas di bawah lengkung + Luas segi tiga BQY
= 0 2 ( 1 2 x 2 + 1 ) d x + 1 2 ( 10 2 ) ( 4 ) = [ x 3 6 + x ] 0 2 + 16 = [ 8 6 + 2 ] 0 + 16 = 19 1 3 unit 2

(c)
Pada paksi-y, x = 0, y = ½ (0) + 1 = 1
y = 1 2 x 2 + 1 x 2 = 2 y 2 Isipadu janaan = π x 2 d y = π 1 4 ( 2 y 2 ) d y = π [ y 2 2 y ] 1 4 = π [ ( 16 8 ) ( 1 2 ) ] = 9 π unit 3


Bab 14 Pengamiran

3.7 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 2:
Diberi bahawa 4 ( 1+x ) 4 dx=m ( 1+x ) n +c,
Cari nilai-nilai mdan n.

Penyelesaian:
4 ( 1+x ) 4 dx=m ( 1+x ) n +c 4 ( 1+x ) 4 dx=m ( 1+x ) n +c 4 ( 1+x ) 3 3( 1 ) +c=m ( 1+x ) n +c 4 3 ( 1+x ) 3 +c=m ( 1+x ) n +c m= 4 3 , n=3


Soalan 3:
Diberi
1 2 2g(x)dx=4 , dan  1 2 [ mx+3g( x ) ]dx =15.
Cari nilai pemalar m.

Penyelesaian:
1 2 [ mx+3g( x ) ]dx =15 1 2 mxdx + 1 2 3g( x )dx =15 [ m x 2 2 ] 1 2 +3 1 2 g( x )dx =15 [ m ( 2 ) 2 2 m ( 1 ) 2 2 ]+ 3 2 1 2 2g( x )dx =15 2m 1 2 m+ 3 2 ( 4 )=15 diberi  1 2 2g(x)dx=4 3 2 m+6=15 3 2 m=9 m=9× 2 3 m=6


Soalan 4:
Diberi
d dx ( 2x 3x )=g( x ), cari  1 2 g(x)dx.

Penyelesaian:
Diberi  d dx ( 2x 3x )=g( x ) g( x )dx= 2x 3x dengan itu, 1 2 g(x)dx = [ 2x 3x ] 1 2                = 2( 2 ) 32 2( 1 ) 31                =41                =3

Bab 14 Pengamiran

3.7 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:
Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.
(a)  ( 3 x 2 5 2 x 3 +2 )dx (b)  x 2 ( x 5 +2x )dx (c)  3 x 4 +2x x 3 dx (d)  (7+x)(7x) x 4 dx (e)  (5x1) 3 dx (f)  3 ( 4x+7 ) 8 dx

Penyelesaian:
(a) ( 3 x 2 5 2 x 3 + 2 ) d x = ( 3 x 2 5 x 3 2 + 2 ) d x = 3 x 1 + 5 x 2 4 + 2 x + c = 3 x + 5 4 x 2 + 2 x + c

(b) x 2 ( x 5 +2x )dx = ( x 7 +2 x 3 )  dx = x 8 8 + 2 x 4 4 +c = x 8 8 + x 4 2 +c

(c) 3 x 4 +2x x 3 dx = ( 3 x 4 x 3 + 2x x 3 )  dx= ( 3x+2 x 2 )  dx = 3 x 2 2 2 x +c

(d) (7+x)(7x) x 4 dx = ( 49 x 2 x 4 )  dx = ( 49 x 4 1 x 2 ) dx = ( 49 x 4 x 2 ) dx = 49 x 3 3 + 1 x +c = 49 3 x 3 + 1 x +c

(e) (5x1) 3 dx = (5x1) 4 ( 4 )( 5 ) +c = 1 20 ( 5x1 ) 4 +c

(f) 3 ( 4x+7 ) 8 dx = 3 ( 4x+7 ) 8  dx = 3 ( 4x+7 ) 7 ( 7 )( 4 ) +c = 3 28 ( 4x+7 ) 7 +c


Bab 12 Janjang

1.3 Janjang, SPM Praktis (Soalan Pendek)
Soalan 1:
Tiga sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 2k, 3k + 3, 5k + 1. Cari
     (a)  nilai k.
     (b)  hasil tambah 15 sebutan pertama janjang aritmetik itu.

Penyelesaian:
(a)
2k, 3k + 3, 5k + 1 ← (Jika a, b, cialah 3 sebutan berturutan dalam suatu janjang aritmetik, cb = ba)
(5k + 1) – (3k + 3) = (3k + 3) – 2k
2k – 2 = k + 3
k= 5

(b)
2(5), 3(5) + 3, 5(5) + 1
10, 18, 26
a = 10, d = 18 – 10 = 8
S 15 = 15 2 [ 2( 10 )+14( 8 ) ]     = 15 2 ( 132 )=990



Soalan 2:
Diberi suatu janjang aritmetik ialah p + 9, 2p + 10, 7p – 1,…., dengan keadaan p ialah satu pemalar. Cari
     (a)  nilai p.
     (b)  hasil tambah 5 sebutan seterusnya.

Penyelesaian:
(a)
p+ 9, 2p + 10, 7p – 1
(7p – 1) – (2p + 10) = (2p + 10) – (p + 9)
5p – 11 = p + 1
4p = 12
p = 3

(b)
3 + 9, 2(3) + 10, 7(3) – 1
12, 16, 20, (5 sebutan seterusnya), …
a= 12, d = 16 – 12 = 4
Hasil tambah 5 sebutan seterus
= S8 S3
= 8 2 [ 2( 12 )+7( 4 ) ]( 12+16+20 ) =20848 =160


Soalan 3:
Diberi bahawa –7, h, k, 20, …, adalah empat sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik. Cari nilai h dan k.

Penyelesaian:




Bab 12 Janjang

1.3 Janjang, SPM Praktis (Soalan Pendek)
Soalan 4:
Sebutan keempat suatu janjang geometri ialah –20. Hasil tambah sebutan keempat dan kelima ialah –16.
Cari sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang itu.

Penyelesaian:
T4 = –20
ar3 = –20 ---- (1) ← (Tn = arn–1)
T4 + T5 = –16
–20 + T5= –16
T5 = 4
ar4 = 4 ---- (2)

( 2 ) ( 1 )   a r 4 a r 3 = 4 20             r= 1 5 Gantikan r= 1 5  ke dalam (1) a ( 1 5 ) 3 =20 a=2500



Soalan 5:
Bagi suatu janjang geometri, hasil tambah dua sebutan pertama ialah 30 dan sebutan ketiga melebehi sebutan pertama sebanyak 15 .
Cari sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang itu.

Penyelesaian:
T1 + T2 = 30
a + ar = 30
a (1 +r) = 30 ---- (1)
T3 T1 = 15
ar2 a = 15
a (r2 – 1) = 15 ---- (2)

( 2 ) ( 1 )   a( r 2 1 ) a( 1+r ) = 15 30 ( r1 )( r+1 ) 1+r = 1 2 ( r 2 1 )= ( r1 )( r+1 )             r1= 1 2                 r= 1 2 +1= 3 2 Dari (1), a( 1+r )=30                a( 1+ 3 2 )=30                         5a 2 =30                          a=12


Soalan 6:
Hasil tambah nsebutan pertama bagi suatu janjang geometri 5, 15, 75, …., ialah 5465.
Cari nilai n.

Penyelesaian:
a=5, r= 15 5 =3 S n =5465 S n = a( r n 1 ) r1 ,r>1 5( 3 n 1 ) 31 =5465 3 n 1= 10930 5 3 n 1=2186 3 n =2187 3 n = 3 7 n=7