Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.6 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 1:
Cari nilai minimum bagi fungsi f (x) = 2x2 + 6x + 5. Nyatakan nilai xyang menjadikan f (x) satu nilai minimum.

Penyelesaian:
Menyempurnakan kuasa dua bagi f (x) dalam bentuk f (x) = a(x + p)2 + q untuk mencari nilai minimum bagi fungsi f (x).
f( x )=2 x 2 +6x+5 =2[ x 2 +3x+ 5 2 ] =2[ x 2 +3x+ ( 3× 1 2 ) 2 ( 3× 1 2 ) 2 + 5 2 ]  
=2[ ( x+ 3 2 ) 2 9 4 + 5 2 ] =2[ ( x+ 3 2 ) 2 + 1 4 ] =2 ( x+ 3 2 ) 2 + 1 2

Didapati a = 2 > 0,
maka f (x) mempunyai nilai minimum apabila x= 3 2 . Nilai minimum bagi f (x) = ½


Soalan 2:
Fungsi kuadratik f (x) = –x2 + 4x + k2, dengan keadaan k ialah pemalar, mempunyai nilai maksimum 8.
Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k.

Penyelesaian:
f (x) = –x2 + 4x + k2
f (x) = –(x2 – 4x) + k2 ← [cara menyempurnakan kuasa dua bagi f (x)
 dalam bentuk f (x) = a(x+ p)2 + q]
f (x) = –[x2 – 4x + (–2)2 – (–2)2] + k2
f (x) = –[(x – 2)2 – 4] + k2
f (x) = –(x – 2)2 + 4 + k2

Diberi nilai maksimum ialah 8.
Maka, 4 + k2 = 8
      k2 = 4
      k = ±2

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.5 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)
Soalan 3:
Diberi bahawa 3 dan s + 4 ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik
x 2 + (t – 1)x + 6 = 0, dengan keadaan sdan t ialah pemalar.
Cari nilai s dan nilai t.

Penyelesaian:
x 2 + (t – 1)x + 6 = 0
x 2 – (1 – t)x+ 6 = 0
a = 1, b = (1 – t), dan c = 6

3 dan s + 4 ialah punca-punca bagi persamaan.
Guna Hasil darab punca untuk mencari nilai s.
3×( s+4 )= c a
3 (s + 4) = 6
s + 4 = 2
s = –2  

Guna Hasil tambah punca untuk mencari nilai t.
3+( s+4 )= b a
3 + s + 4 = 1 – t
3 + (–2) + 4 1= – t
4 = – t
t = 4


Soalan 4:
Diberi satu daripada punca persamaan kuadratik x2– 9x + m = 0 ialah setengah kali punca yang satu lagi. Cari nilai bagi m.

Penyelesaian:
Katakan α dan β ialah dua punca bagi x2 – 9x + m = 0.
Bandingkan x2 – 9x + m = 0 dengan persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0.
a = 1, b = –9, dan c = m.

Hasil tambah dua punca,
α+β= b a =( 9 1 )=9

Katakan,  β= α 2 punca kedua ialah setengah daripada punca pertama Dari α+β=9 α+ α 2 =9 3α 2 =9 α=6

Hasil darab dua punca,
αβ= c a α( α 2 )=m m= α 2 2 = 6 2 2 =18

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.5 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)
Soalan 1:
Diberi persamaan kuadratik
mx 2 + (3 – 2m)x+ m – 5 = 0.
Cari nilai m atau julat nilai m bagi setiap kes yang berikut.
(i)    Jika persamaan kuadratik mempunyai dua punca yang nyata dan sama.
(ii) Jika persamaan kuadratik tidak mempunyai punca yang nyata.

Penyelesaian:
(i)
mx 2 + (3 – 2m)x+ m – 5 = 0
a = m, b = 32m, dan c = m – 5

Bagi dua punca yang nyata dan sama,
b2 – 4ac = 0
(3 – 2m)2 – 4m (m – 5) = 0
9 – 12m + 4m2– 4m2 + 20m = 0
                                           8m= –9
                                            m= 9 8
(ii)
Bagi dua punca nyata yang tidak wujud
b2 – 4ac < 0
(3 – 2m)2 – 4m (m – 5) < 0
9 – 12m + 4m2– 4m2 + 20m < 0
                                    8m + 9 < 0
                                             m< 9 8


Soalan 2:
Cari nilai m jika garis lurus y = 5xm ialah satu tangen kepada lengkung y = x2+ 2x + 1.

Penyelesaian: 
Diberi
y = 5xm -------- (1)
y = x2 + 2x + 1 --- (2)

Gantikan (1) ke dalam (2)
5xm = x2 + 2x + 1
x 2 – 3x + 1 + m = 0 ----- (3)
a = 1, b = –3, dan c = 1 + m

Tangen kepada lengkung mempunyai satu punca, iaitu
b2 – 4ac = 0
(–3)2– 4(1) (1 + m) = 0
9 – 4 – 4m = 0
5 – 4m = 0
4m = 5
m= 5 4


Bab 1 Fungsi

1.5 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 10:
Jika g:x mx x3 ,x3 dan g 1 (5) = 14. Cari nilai m.

Penyelesaian:




Soalan 11 (Kaedah Bandingan):
Jika f:x mxn x2 ,x2 dan  f 1 :x 52x 2x ,x2. Cari nilai m dan n.

Penyelesaian:
f( x )= mxn x2 Katakan y= mxn x2 cari  f 1 ( x ) y( x2 )=mxn xy2y=mxn xymx=2yn pindah x ke  sebelah kiri
x( ym )=2yn x= 2yn ym f 1 ( x )= 2xn xm 2xn xm = 52x 2x bandingkan dengan f 1 ( x ) yang diberi × 1 1 n2x mx = 52x 2x maka, n=5, m=2

Soalan 12 (Kaedah Bandingan):
Diberi bahawa f:x 2h x3k ,x3k,  dengan keadaan h dan k ialah pemalar dan   f 1 :x 14+24x x ,x0. Cari nilai h dan k .

Penyelesaian:
f( x )= 2h x3k Katakan y= 2h x3k cari  f 1 ( x ) y( x3k )=2h xy3ky=2h xy=2h+3ky x= 2h+3ky y
f 1 ( x )= 2h+3kx x 2h+3kx x = 14+24x x bandingkan dengan f 1 ( x ) yang diberi 2h=14      3k=24 h=7            k=8


Bab 1 Fungsi

1.5 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 8:
Cari fungsi songsangan f(x)= 3x+2 5x+3

Penyelesaian:
 f(x)= 3x+2 5x+3 katakan y= 3x+2 5x+3 y( 5x+3 )=3x+2 5xy+3y=3x+2 5xy3x=23y x( 5y3 )=23y x= 23y 5y3 f 1 ( x )= 23x 5x3 tukar y kepada x untuk cari  f 1 ( x ) 


Soalan 9:
(a) Jika f : xx – 2, cari f -1 (5), 
(b) Jika f:x x+9 x5 , x5, cari  f 1 (3). 

Penyelesaian:
(a)
f (x) = x– 2
Katakan y = f -1 (5)
f (y) = 5
y – 2 = 5
y = 7
oleh itu, f -1 (5) = 7

(b)
f(x)= x+9 x5 katakan y= f 1 (3) f(y)=3 y+9 y5 =3 y+9=3y15 2y=24 y=12 f 1 ( 3 )=7

Bab 1 Fungsi

1.5 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 5:
Jika f : x → 2x + 1 dan  g:x 5 x ,x0. Cari fungsi gubahan gf,  fg dan nilai gf (4).

Penyelesaian:




Soalan 6:
Suatu fungsi f ditakrifkan oleh f : x 2x + 1.
Cari fungsi gjika fg:x 5x2 x+5 ,x5.

Penyelesaian:
[ Perhatian: Fungsi pertama diberi]




Soalan 7:
Suatu fungsi f ditakrifkan oleh  f:x 7 x .
Cari fungsi g jika  gf:x 10 2x+3 ,x 3 2 .

Penyelesaian:
[Perhatian: Fungsi kedua diberi, guna kaedah penggantian]



Bab 1 Fungsi

1.6 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1:
Fungsi f dan g ditakrifkan sebagai f : xx– 1 dan  g:x 3x x+4 . Cari
(a) nilai gf(3),
(b) nilai fg(-1 ),
(c) fungsi gubahanfg,
(d) fungsi gubahangf,
(e) fungsi gubahang 2  ,
(f) fungsi gubahanf 2 .

Penyelesaian:





Soalan 2:
Diberi f : xhx + k dan f2 : x → 4x + 15.
     (a)  Cari nilai hdan k.
     (b)  Ambil nilai h> 0, cari nilai-nilai x di mana f (x2) = 7x

Penyelesaian:
(a)
Langkah 1: cari f2 (x)
Diberi f (x) = hx + k
f2 (x) = ff (x) = f (hx + k)
            = h (hx + k) + k
            = h2x + hk + k

Langkah 2: bandingkan dengan f2(x) yang diberi
f2 (x) = 4x + 15
h2x + hk+ k = 4x + 15
h2 = 4
h = ± 2
Apabila, h = 2
hk + k = 15
2k + k = 15
k = 5

Apabila, h = –2
hk + k = 15
–2k + k = 15
k = –15

(b)
h > 0, h = 2, k = 5
Diberi f ( x) = hx  k
f (x) = 2x + 5

f (x2) = 7x
2 (x2) + 5 = 7x
2x2 7x+ 5 = 0
(2x 5)(x–1 ) = 0
2x 5 = 0    atau    x –1= 0
x = 5/2                         x = 1

Bab 1 Fungsi

1.5 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 1:
Diberi bahawa fungsi  f : x → 6x + 1. Cari nilai p jika f (4) = 4p + 5.

Penyelesaian:
f : x → 6x+ 1
f (x) = 6x + 1
f (4) = 6(4) + 1
f (4) = 25

f (4) = 4p + 5
25 = 4p + 5
4p = 25 – 5 = 20
p = 20/4 = 5


Soalan 2:
Diberi g:x 3x5 2x+7
Fungsi g ditakrifkan untuk semua nilai x kecuali x = a. Cari niali a.

Penyelesaian:
Diingatkan bahawa g ( x) tidak tertakrif jika penyebut = 0 iaitu [2x + 7 = 0]
2x + 7 = 0
2x = –7
x= 7 2

Apabila x= 7 2 , g (x) tidak tertakrif
atau g (x) ditakrifkan untuk semua nilai x kecuali
x= 7 2 , maka a= 7 2


Soalan 3:
Diberi bahawa fungsi f : x → 3x+ 2. Cari nilai
(a) f (2)
(b) f (– 5)
(c) f () 

Penyelesaian:




Soalan 4:
Jika f : xx2 + 3x+ 2, ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan x:
(a) f (2x)
(b) f (3x+ 1)
(c) f (x2)

Penyelesaian:



Bab 5 Indeks dan Logaritma

5.5 Indeks dan Logaritma, SPM Praktis (Soalan Pendek)
Soalan 12
Selesaikan persamaan, log 2 5 x + log 4 16x=6 

Penyelesaian:
log 2 5 x + log 4 16x=6 log 2 5 x + log 2 16x log 2 4 =6 log 2 5 x + log 2 16x 2 =6 2 log 2 5 x + log 2 16x=12 log 2 ( 5 x ) 2 + log 2 16x=12 log 2 ( 25x )+ log 2 16x=12 log 2 ( 25x )( 16x )=12 log 2 400 x 2 =12 400 x 2 = 2 12 x 2 =10.24 x=3.2


Soalan 13
Diberi bahawa 2 log2 (xy) = 3 + log2 x + log2y. Buktikan x2 + y2– 10xy = 0.

Penyelesaian:
2 log2 (xy) = 3 + log2x + log2 y
log2 (xy)2 = log2 8 + log2 x + log2y
log2 (xy)2 = log2 8xy
(xy)2 = 8xy
x2 – 2xy + y2 = 8xy
x2 + y2 – 10xy = 0 (terbukti)


Soalan 14
Diberi bahawa 2 log2 (x + y) = 3 + log2 x + log2y. Buktikan x2 + y2= 6xy.

Penyelesaian:
2 log2 (x + y) = 3 + log2x + log2 y
log2 (x+ y)2 = log2 8 + log2 x + log2y
log2 (x+ y)2 = log2 8xy
(x + y)2 = 8xy
x2 + 2xy + y2 = 8xy
x2 + y2 = 6xy  (terbukti)

Bab 5 Indeks dan Logaritma

5.5 Indeks dan Logaritma, SPM Praktis (Soalan Pendek)
Soalan 9
Selesaikan persamaan, log 2 4x=1 log 4 x

Penyelesaian:
log 2 4x=1 log 4 x log 2 4x=1 log 2 x log 2 4 log 2 4x=1 log 2 x 2 2 log 2 4x=2 log 2 x log 2 16 x 2 = log 2 4 log 2 x log 2 16 x 2 = log 2 4 x 16 x 2 = 4 x x 3 = 4 16 = 1 4 x= ( 1 4 ) 1 3 =0.62996


Soalan 10
Selesaikan persamaan, log 4 x=25 log x 4

Penyelesaian:
log 4 x=25 log x 4 1 log x 4 =25 log x 4 1 25 = ( log x 4 ) 2 log x 4=± 1 5 log x 4= 1 5        or       log x 4= 1 5 4= x 1 5                                4= x 1 5 x= 4 5                                 4= 1 x 1 5 x=1024                          x 1 5 = 1 4                                            x= 1 1024


Soalan 11
Selesaikan persamaan, 2 log x 5+ log 5 x=lg1000

Penyelesaian:
2 log x 5+ log 5 x=lg1000 2. 1 log 5 x + log 5 x=3 ×( log 5 x )    2+ ( log 5 x ) 2 =3 log 5 x ( log 5 x ) 2 3 log 5 x+2=0 ( log 5 x2 )( log 5 x1 )=0 log 5 x=2      or      log 5 x=1 x= 5 2                              x=5 x=25