Bab 16 Ubahan

5.1 Ubahan Langsung (Bahagian 1)
(A) Menentukan sama ada suatu kuantiti berubah secara langsung terhadap kuantiti yang lain
1.      Jika suatu kuantiti y berubah secara langsung dengan suatu kuantiti x,
           (a)  y bertambah apabila x bertambah
           (b)  y berkurung apabila x berkurung
2.      Suatu kuantiti y berubah secara langsung dengan suatu kuantiti x jika dan hanya jika y x =k  di mana k ialah pemalar.
3.      yberubah secara langsung dengan x ditulis aebagai y α x.
4.      Apabila y α x, maka graf y melawan x adalah satu garis lurusyang melalui asalan.


(B) Ungkapkan suatu ubahan langsung dalam bentuk persamaan yang melibatkan dua pemboleh ubah

Contoh 1:
Diberi bahawa yberubah secara langsung dengan x dan y = 20 apabila x = 36. Tulis ubahan langsung itu dalam bentuk persamaan.

Penyelesaian:
yx y=kx 20=k(36) k= 20 36 = 4 9 (Cari k terdahulu) y= 4 9 x


(C) Mencari nilai bagi suatu pemboleh ubah dalam ubahan langsung
Jika y berubah secara langsung dengan x dan maklumat yang mencukupi diberi, maka nilai y atau x dapat dicari dengan menggunakan
(a) y=kx, or (b)  y 1 x 1 = y 2 x 2
 
Contoh 2:
Diberi bahawa yberubah secara langsung dengan x dan y = 24 apabila x = 8, cari
(a)  Persamaan yang mengaitkan y kapada x
(b)  nilai bagi y apabila x = 6
(c)  nilai bagi x apabila y = 36

Penyelesaian:
Kaedah 1: Guna y = kx
(a)
yα x
y= kx
Apabila y= 24, x = 8
24 = k (8)
k = 3
(b)
Apabila x= 6,
y = 3(6)
y = 18

Kaedah 2: Guna  y 1 x 1 = y 2 x 2 (a)  Let  x 1 =8 dan  y 1 =24 y 1 x 1 = y 2 x 2 24 8 = y 2 x 2 3 1 = y 2 x 2 y 2 =3 x 2 y=3x

(b)  x 1 =8 dan  y 1 =24 dan  x 2 =6; cari  y 2 . y 1 x 1 = y 2 x 2 24 8 = y 2 6 y 2 = 24 8 (6) y 2 =18

(c)  x 1 =8 dan  y 1 =24  dan y 2 =36; cari  x 2 . y 1 x 1 = y 2 x 2 24 8 = 36 x 2 24 x 2 =36×8 x 2 =12


Bab 16 Ubahan

5.2 Ubahan Songsang
Jika suatu kuantiti y berubah secara songsang dengan suatu kuantiti yang lain x, maka
(a)  y bertambah apabila x berkurang,
(b)  y berkurang apabila x bertambah.


(A) Menulis suatu ubahan songsang dalam bentuk persamaan
Suatu ubahan songsang dapat ditulis dalam bentuk persamaan, y= k x  di mana k ialah pemalar yang dapat ditentukan.

Contoh 1:
Diberi y berubah secara songsang dengan x dan y = 4 apabila x =10. Tulis satu persamaan yang mengaitkan x dan y.

Penyelesaian:
y 1 x y= k x 4= k 10 k=40 y= 40 x


Contoh 2:
Diberi bahawa y = 3 apabila x = 6, cari persamaan yang mengaitkan x dan y jika:
(a) y 1 x 2    (b) y 1 x 3    (c) y 1 x

Penyelesaian:
(a)  y 1 x 2  y= k x 2 3= k 6 2 k=3×36=108 y= 108 x 2

(b)  y 1 x 3  y= k x 3 3= k 6 3 k=3×216=648 y= 648 x 3

(c)  y 1 x  y= k x 3= k 6 k=3× 6 =3 6 y= 3 6 x


Bab 16 Ubahan

5.1 Ubahan Langsung (Bahagian 2)
(D) Menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan langsung
1.      Jika y α xn, di mana n = ½ , 2, 3, maka persamaannya ialah y = kxn di mana k ialah pemalar.
2.      Graf y melawan xn adalah satu garis lurus yang melalui asalan.
3.      Jika y α xn, dan diberi dengan maklumat yang mencukupi, maka nilai xatau niali y dapat ditentukan.

Contoh:
y berubah secara langsung dengan x3 dan y = 54 apabila x = 3, cari
(a)  nilai bagi x apabila y = 16
(b)  nilai bagi y apabila x = 4

Penyelesaian:
Diberi y α x3, y = kx3
Apabila y = 54, x = 3,
54 = k (3)3
54 = 27k
k = 2
maka y = 2x3

(a)  Apabila y = 16
16 = 2x3
x3= 8
x= 2

(b)  Apabila x = 4
y = 2(4)3 = 128

Bab 16 Ubahan

5.1 Ubahan Langsung (Contoh Soalan)
Contoh 1:
Diberi bahawa p berubah secara langsung dengan punca kuasa dua q dan p=12 apabila q=36,cari
(a)  nilai bagi p apabila q=16
(b)  nilai bagi q apabila p=18

Penyelesaian:
p q , p=k q 12=k 36 12=k(6) k=2 p=2 q

(a) p=2 q p=2 16 =2(4) p=8

(b) p=2 q 18=2 q  9= q 9 2 =q q=81

Bab 16 Ubahan

5.3 Ubahan Tercantum
(A) Mewakili suatu ubahan tercantum dengan menggunakan simbol ‘α’
1.      Jika satu pemboleh ubah berubah secara langsung dan/atau secara songsang dengan pemboleh ubah yang lain, hubungan ini dikenali sebagai ubahan tercantum.
2.      y berubah secara langsung dengan x dan z’ ditulis sebagai y α xz.
3.      y berubah secara langsung dengan x dan secara songsang dengan z’ ditulis sebagai y α  x z .  
4.      y berubah secara songsang dengan x dan z’ ditulis sebagai y α  1 xz .  

Contoh 1:
Cari hubungan bagi setiap ubahan yang berikut dengan menggunakan simbol ‘α’.
(a)  x berubah secara langsung dengan y dan z.
(b)  x berubah secara songsang dengan y dan z .  
(c)  x berubah secara langsung dengan r3 dan secara songsang dengan y.

Penyelesaian:
(a) x α yz (b) x α  1 y z (c) x α  r 3 y


(B) Menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan songsang
1.      Jika  y α  x n z n , maka y=k x n z n , di mana k ialah pemalar dan n = 2, 3 dan ½.

2.      Jika  y α  1 x n z n , maka y= 1 k x n z n , di mana k ialah pemalar dan n = 2, 3 dan ½.

3.      Jika  y α  x n z n , maka y= k x n z n , di mana k ialah pemalar dan n = 2, 3 dan ½.

Contoh 2:
Diberi bahawa p α  1 q 2 r  apabila p = 4, q = 2 and r = 16, hitungkan nilai r apabila p = 9 dan q = 4.

Penyelesaian:
Diberi bahawa,  p α  1 q 2 r , p =  k q 2 r Apabila p=4q=2 dan r=16, 4 =  k 2 2 16 4= k 16 k=64 p =  64 q 2 r

Apabila p=9 dan q=4, 9 =  64 4 2 r 9 =  4 r r = 4 9 r= ( 4 9 ) 2 = 16 81


Bab 16 Ubahan

Soalan 6:
Diberi bahawa R berubah secara langsung dengan punca kuasa dua S dan secara songsang dengan kuasa dua T. Cari hubungan antara R, S dan T.

Penyelesaian:
R α  S T 2


Soalan 7:
Diberi bahawa P berubah secara langsung dengan kuasa dua Q dan secara songsang dengan punca kuasa dua R. Diberi k ialah pemalar, Cari hubungan antara P, Qdan R.

Penyelesaian:
P α  Q 2 R P= k Q 2 R


Soalan 8:
Diberi bahawa P berubah secara songsang dengan punca kuasa tiga Q. Hubungan antara P dan Q ialah

Penyelesaian:
P α  1 Q 3 P α  1 Q 1 3


Soalan 9:
Diberi bahawa y berubah secara songsang dengan kuasa tiga x dan y = 16 apabila x = ½ . Ungkapkan y dalam sebutan x.

Penyelesaian:
y α  1 x 3 y= k x 3 Apabila y=16, x= 1 2
16= k ( 1 2 ) 3 16= k 1 8 k=2 y= 2 x 3



Soalan 10:
W berubah secara langsung dengan X dan secara songsang dengan punca kuasa dua Y. Diberi k ialah pemalar, Cari hubungan antara W, Xdan Y.

Penyelesaian:
W α  X Y W =  kX Y W =  kX Y 1 2

Bab 16 Ubahan

5.4 Ubahan, SPM Praktis (Soalan Pendek)
Soalan 1:
Diberi bahawa yberubah secara langsung dengan kuasa tiga xdan y = 192 apabila x = 4. Hitungkan nilai x apabila y = –24.

Penyelesaian:
y α x3
y = kx3
192 = k (4)3
k = 3

y = 3x3
Apabila y = – 24
–24 = 3x3
x = –2


Soalan 2:
Diberi bahawa yberubah secara langsung dengan kuasa dua xdan y = 9 apabila x = 2. Hitungkan nilai x apabila y = 16.

Penyelesaian:
y α x2
y = kx2

9 = k (2)
k= 9 4 y= 9 4 x 2 Apabila y=16 16= 9 4 x 2 x 2 = 64 9 x= 8 3


Soalan 3:
Diberi bahawa y berubah secara songsang w dan x dan y = 45 apabila w = 2 dan x = 1/6. Hitungkan nilai xapabila y = 15 dan w =

Penyelesaian:
y α  1 wx y= k wx 45= k ( 2 )( 1 6 ) k=45× 1 3 =15 y= 15 wx

apabila y=15, w= 1 3 15= 15 ( 1 3 )x x 3 =1 x=3


Soalan 4:
Diberi bahawa p α  1 q r  dan p= 3 apabila q = 2 dan r = 16, cari nilai bagi p apabila q = 3 dan r = 4.

Penyelesaian:
p α  1 q r p= k q r 3= k ( 2 ) 16 k=24 p= 24 q r

apabila q=3, r=4 p= 24 3 4 p= 24 6 =4



Soalan 5:
Diberi bahawa Pα 1 Q  dan Q=4M+1.  
Jika P = 5 apabila M = 2, ungkapkan P dalam sebutan Q.

Penyelesaian:

Diberi Pα 1 Q Maka, P= k Q            P= k 4M+1            5= k 4( 2 )+1           5= k 9          k=15          P= 15 Q
 

Bab 5 Indeks dan Logaritma

5.2a Hukum-hukum Logaritma

  Hukum 1:   log a xy= log a x+ log a y   Contoh:   log 5 25x= log 5 25+ log 5 x   Berhati-hati!!   log a x+ log a y log a ( x+y )  
  Hukum 2:   log a ( x y )= log a x log a y     Contoh:   log 5 x 25 = log 5 x log 5 25   Berhati-hati!!   log a x y log a x log a y   
  Hukum 3:   log a x m =m log a x   Contoh:   log 5 y 5 =5 log 5 y   Berhati-hati!!    ( log a x ) 2 2 log a x  


Contoh 1:
Ungkapkan setiap yang berikut dalam bentuk loga x dan loga y.
(a)  log a 3x (b)  log a x 5 (c)  log a y 5 (d)  log a x y 3 (e)  log a x 2 5 (g)  log a y a 2 x 3

Penyelesaian:




Bab 5 Indeks dan Logaritma

5.1 Indeks dan Hukum Indeks (Bahagian 2)
(C) Indeks Pecahan
  Secara amnya, bagi semua a.      a 1 n = a n    a m n = a m n = ( a n ) m     a n  disebut punca kuasa n bagi a.       ( a n ) m disebut kuasa m bagi                   punca kuasa n bagi a.

Contoh 1:
Cari nilai-nilai yang berikut:
(a) 81 1 2 (b) 64 1 3 (c) 625 1 4  

Penyelesaian:
(a) 81 1 2 = 81 =9 (b) 64 1 3 = 64 3 =4 (c) 625 1 4 = 625 4 =5

Contoh 2:
Cari nilai-nilai yang berikut:
(a)  16 3 2 (b)  ( 27 64 ) 2 3  

Penyelesaian:
(a)  16 3 2 = ( 16 1 2 ) 3 = 4 3 =64 (b)  ( 27 64 ) 2 3 = ( 27 64 3 ) 2 = ( 3 4 ) 2 = 9 16


(D) Hukum-hukum Indeks

   a m × a n = a m+n   Contoh:    3 3 × 3 2   = 3 3+2 = 3 5 =243  

   a m ÷ a n = a mn    atau    a m a n = a mn ,a0     Contoh:    3 3 ÷ 3 2   = 3 32 = 3 1 =3   atau    3 3 3 2 = 3 32 = 3 1 =3

   ( a m ) n = a mn   Contoh:    ( 7 3 ) 4 = 7 3×4 = 7 12   

   ( ab ) n = a n b n   Contoh:    ( 15 ) 3 = ( 5×3 ) 3 = 2 3 × 3 3     

   ( a b ) n = a n b n , b0   Contoh:    ( 3 5 ) 4 = 3 4 5 4 = 81 625   


Bab 5 Indeks dan Logaritma

Indeks Integer Positif
Jika a ialah suatu nombor dan n ialah suatu integer positif, maka an bermakna pendaraban asas a sebanyak n kali dan disebut a kuasa n.


Integer n adalah indeks dan a ialah asasnya.
Contoh:  5×5×5×5 = 54 , 5 ialah asas dan 4 ialah indeks.


5.1 Indeks dan Hukum Indeks (Bahagian 1)
(A) Indeks Sifar
Indeks sifar bagi semua nombor adalah sama dengan satu.

  a o = 1, di mana a ≠ 0

Contoh 1:
Cari nilai-nilai yang berikut:
(a) 2500
(b)0.5130
(c)  ( 2 7 ) 0 (d)  ( 11 1 25 ) 0   

Penyelesaian:
(a) 2500 = 1
(b)0.5130 = 1
(c)  ( 2 7 ) 0 =1 (d)  ( 11 1 25 ) 0 =1

(B) Indeks Negatif

  a n = 1 a n , n>0  

Contoh 2:
Cari nilai-nilai yang berikut:
(a) 102 -1
(b)  –6 -3
(c)  ( 1 3 ) 4 (d)  ( 2 5 ) 2 (e)  ( 2 5 ) 4

Penyelesaian:
(a)  102 1 = 1 102 (b)  6 3 = 1 6 3 = 1 216 (c)  ( 1 3 ) 4 = ( 3 ) 4 =81 (d)  ( 2 5 ) 2 = ( 5 2 ) 2 = 25 4 (e)  ( 2 5 ) 4 = ( 5 2 ) 4 = 625 16