Bab 14 Penjelmaan


3.1c Menyatakan Koordinat-koordinat Imej bagi suatu Titik di bawah Gabungan Dua

1.  Koordinat-koordinat bagi imej satu titik, K, di bawah suatu gabungan penjelmaan AB, boleh ditentukan dengan langkah-langkah berikut:
Step 1: Menentukan koordinat-koordinat K’, imej bagi K, di bawah penjelmaan pertama, B.
Step 2: Menentukan koordinat-koordinat K”, imej bagi K’, di bawah penjelmaan kedua, AK” ialah imej bagi K, di bawah gabungan penjelmaan AB.


Contoh:
T, P, R dan E adalah empat penjelmaan yang ditakrifkan seperti berikut:
= pantulan pada paksi-y.
= Putaran 90o ikut arah jam pada asalan.
= Satu pembesaran pada asalan dengan faktor skala 3.

Cari koordinat-koordinat bagi imej titik A (3, –2) di bawah setiap gabungan penjelmaan berikut.
(a) TT  
(b) PT
(c) ET 
(d) ER
(e) EP
 
Penyelesaian:
(a)


A(3, –2) → TA’(–1, 1) → TA”(–5, 4).



(b)

 
A(3, –2) → TA’(–1, 1) → PA”(1, 1).


(c)


A(3, –2) → TA’(–1, 1) → EA”( –3, 3).


(d)


A(3, –2) → RA’(–2, 3) → EA”( –6, –9).



(e)


A(3, –2) → PA’(–3, –2) → EA”( –9, –6).

Bab 14 Penjelmaan

3.1 Gabungan Dua Penjelmaan

3.1a Menentukan Imej suatu Objek bagi Gabungan Dua Penjelmaan Isometri
1.      Translasi, pantulan dan putaranadalah penjelmaan isometri.
2.      Dalam suatu penjelmaan isometri, bentukdan saiz bagi imej adalah sama dengan objek.
3.      Bagi dua penjelmaan, A dan B,
(a)  Gabungan penjelmaan AB bermaksud penjelmaan B diikuti dengan penjelmaan A.
(b)  Gabungan penjelmaan BA bermaksud penjelmaan A diikuti dengan penjelmaan B.
(c)   Gabungan penjelmaan A2 = AA bermaksud penjelmaan A dijalankan dua kali berturut-turut.

Bab 14 Penjelmaan


3.1b Menentukan Imej suatu Objek bagi Gabungan Penjelmaan yang Melibatkan (a) Dua Pembesaran, (b) Satu Pembesaran dengan Satu daripada Penjelmaan Isometri

Pembesaran
ialah suatu penjelmaan di mana semua titik objek bergerak dari satu titik tetap, mengikut suatu nisbah tertentu.

1.   Titik tetap tersebut adalah pusat pembesaran manakala nisbah tertentu dikenali sebagai faktor skala.

Faktor skala, k = jarak titik pada imej dari pusat pembesaran jarak titik yang sepadan pada objek dari pusat pembesaran

2.  
Bagi pembesaran, objek dan imej adalah serupa.
3.   Luas imej = (Faktor skala)2× Luas objek
= k2 × Luas objek


Contoh:

 
E, P dan T ialah tiga penjelmaan yang ditakrifkan seperti berikut:
= Pembesaran pada pusat V (0, –1) dengan factor skala 2.
= Pantulan pada garis lurus = –1 .
T = T r a n s l a s i ( 3 3 )

Berdasarkan rajah di atas, tentukan imej bagi trapezium berlorek di bawah gabungan penjelmaan
(a) E2  
(b) ET  
(c) EP
 
Penyelesaian:


(a)
Trapezium berlorek → (E) trapezium III → (E) trapezium D.
Maka, imej bagi trapezium berlorek di bawah gabungan penjelmaan E2 = EE ialah trapezium D.

(b)
Trapezium berlorek → (T) trapezium II → (E) trapezium A.
Maka, imej bagi trapezium berlorek di bawah gabungan penjelmaan ET ialah trapezium A.

(c)
Trapezium berlorek → (P) trapezium I → (E) trapezium B.
Maka, imej bagi trapezium berlorek di bawah gabungan penjelmaan EP ialah trapezium B.

Bab 14 Penjelmaan


3.2 Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Penjelmaan
 
Contoh:
Rajah di bawah menunjukkan segi tiga ABCSQT dan PQR.



(a)  Penjelmaan ialah translasi ( 5 2 )
Penjelmaan ialah pantulan pada garis lurus y = 7.
Nyatakan koordinat imej bagi titik A di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) Penjelmaan T,
(ii) Gabungan penjelmaan PT.

(b)  (i) PQR ialah imej bagi segi tiga ABC di bawah gabungan penjelmaan MN. Huraikan selengkapnya penjelmaan N dan penjelmaan M.
(ii) Diberi bahawa luas bagi rantau berlorek PSTR ialah 200 m2. Hitungkan luas segi tiga SQT.


Penyelesaian:


(a)(i) A(3, 11) → TA’(8, 9).
(a)(ii) A(3, 11) → TA’(8, 9) → PA”(8, 5).


(b)(i)

 
N = Putaran lawan arah jam melalui 90o pada pusat (5, 10).


(b)(ii)

 
= Pembesaran pada pusat (5, 12) dengan faktor skala 3.


(c)
Luas imej = (factor skala)2 × Luas objek
Luas PQR = 32 × Luas SQT
Luas SQT  + Luas PSTR = 9 × Luas SQT
Luas SQT  + 200 = 9 × Luas SQT
200 = (9 × Luas SQT) – Luas SQT
200 = 8 × Luas SQT
Luas S Q T = 200 8
Luas SQT = 25 m2

3.4.2 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)


3.4.2 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)
 
Soalan 2:
(a)  Penjelmaan P ialah pantulan pada garis lurus x = m.
Penjelmaan T ialah translasi ( 4 2 )  
Penjelmaan R ialah putaran 90o ikut arah jam pada pusat (0, 4).
(i) Titik (6, 4) adalah imej bagi titik ( –2, 4) di bawah penjelmaan P.
(ii) Cari koordinat imej bagi titik (2, 8) di bawah gabungan penjelmaan berikut:
(a)  T2,
(b)   TR.

(b)  Rajah di bawah menunjukkan trapezium CDFE dan trapezium HEFG dilukis pada suatu satah Cartesian.

 
(i) HEFG ialah imej bagi CDEF di bawah gabungan penjelmaan WU.
  Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) U
(b) W

(ii) Diberi bahawa CDEF mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 60 m2.
Hitungkan luas, dalam m2, kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.


Penyelesaian:
(a)(i)
( 6 , 4 ) P ( 2 , 4 ) m = 6 + ( 2 ) 2 = 2

(a)(ii)


(a) (2, 8) → T → (6, 6) → T → (10, 4)
(b) (2, 8) → R → (4, 2) → T → (8, 0)


(b)(i)(a)
U: Putaran lawan arah jam melalui 90o pada pusat A (3, 3).


(b)(i)(b)
Faktor skala = H E C D = 4 2 = 2
W: Satu pembesaran pada pusat B (3, 5) dengan faktor skala 2.

(b)(ii)
Luas HEFG = (factor skala)2 × Luas objek
= 22 × luas CDEF
= 4 × 60
 = 240 m2
Oleh itu,
Luas rantau berlorek
= Luas HEFG – luas CDEF
= 240 – 60
= 180 m2


3.4.1 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)


SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)

Soalan 1:
(a) Penjelmaan T ialah translasi ( 4 2 )  dan penjelmaan P ialah putaran 90o lawan arah jam pada pusat (1, 0).
Nyatakan koordinat imej bagi titik (5, 1) di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) Translasi T,
(ii) Putaran P,
(iii) Gabungan penjelmaan T2.

(b) Rajah di bawah menunjukkan tiga sisi empat, ABCD, EFGH dan JKLM, dilukis pada suatu satah Cartesian.



(i) JKLM ialah imej bagi ABCD di bawah gabungan penjelmaan VW.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) W   (b) V

(ii) Diberi bahawa sisi empat ABCD mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 18 m2.
Hitungkan luas, dalam m2, kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.


Penyelesaian:
(a)

(b)

 
(i)(a)
W: Satu pantulan pada garis lurus x = –2

(i)(b)
V: Satu pembesaran pada pusat (0, 4) dengan faktor skala 3.

(b)(ii)
Luas EFGH = luas ABCD = 18 m2
Luas JKLM = (factor skala)2 × Luas objek
= 32 × luas EFGH
 = 32 × 18
= 162 m2
Oleh itu,
Luas rantau berlorek
= Luas JKLM – luas EFGH
= 162 – 18
= 144 m2

2.1.1 The Human Skeleton


The Human Skeleton
1.      Human skeleton consists of two main parts: axial skeleton and appendicular skeleton
2.      The axial skeleton consists of the skull, vertebral column, ribs and sternum.




Skull




Ribs and the sternum





Vertebral column







Cervical vertebrae







Thoracic vertebrae





Lumbar vertebrae





Bab 1 Bentuk Piawai

1.1 Angka Bererti
Angka Bererti (Bahagian 1)
1.      Angka bererti merujuk kepada digit-digit yang relevan dalam sesuatu integer atau perpuluhan yang dihampirkan kepada sesuatu nilai mengikut tahap kejituan yang tertentu.
2.      Semasa membundarkan suatu nombor positif kepada bilangan angka bererti, peranan sifar ditunjukkan seperti berikut.
     (a)  Semua digit bukan sifar dalam suatu nombor adalah angka bererti.
Contoh:
(i) 568 (3 angka bererti)
(ii) 36.97 (4 angka bererti)

     (b)  Sifar yang terletak di antara digit-digit bukan sifar adalah angka bererti.
Contoh:
(i) 7001 (4 angka bererti)
(ii) 3.04 (4 angka bererti)
(iii) 22.054 (4 angka bererti)

      (c)  Sifar yang terletak di sebelah kanan digit bukan sifar dalam suatu berpuluhan adalah angka bererti.
Contoh:
(i) 0.70 (2 angka bererti)
(ii) 4.500 (4 angka bererti)
(iii) 3.00 (3 angka bererti)

      (d)  Sifar yang terletak di sebelah kiri digit bukan sifar dalam suatu berpuluhan kurang daripada 1 adalah bukan angka bererti.
Contoh:
(i) 0.05 (1 angka bererti)
(ii) 0.0040 (2 angka bererti)
(iii) 0.07040 (4 angka bererti)

     (e)  Sifar di hujung suatu nombor bulatdianggap sebagai bukan angka berertikecuali dinyatakan.
Contoh:
(i)    40 (1 angka bererti)
(ii) 3670 (3 angka bererti)
(iii)  704200 (4 angka bererti)


Contoh 1:
Bundarkan setiap nombor yang berikut betul kepada tiga angka bererti.
     (a)  246= 246 (3 angka bererti)
     (b)  2463 = 2460 (3 angka bererti)
     (c)  24632 = 24600 (3 angka bererti)
     (d)  0.00745= 0.00745 (3 angka bererti)
     (e)  0.007453 = 0.00745 (3 angka bererti)
     (f)   0.007455 = 0.00746 (3 angka bererti)
     (g)  0.007403 = 0.00740 (3 angka bererti)

Contoh 2:
Bundarkan setiap nombor yang berikut betul kepada bilangan angka bererti yang ditunjukkan dalam kurungan, [ ].
(a) 3548 (2 angka bererti)
(b) 0.5089 (3 angka bererti)
(c) 33.028 (1 angka bererti)
(d) 0.40055 (3 angka bererti)
(e) 0.681 (2 angka bererti)
(f) 38.97 (3 angka bererti)

Penyelesaian:
(a) 3500 (2 angka bererti)
(b) 0.509 (3 angka bererti)
(c) 30 (1 angka bererti)
(d) 0.401 (3 angka bererti)
(e) 0.68 (2 angka bererti)
(f) 39.0 (3 angka bererti)

Bab 8 Bulatan III


8.3 Tangen Sepunya
Tangen sepunya kepada dua bulatan ialah suatu garis lurus yang menyentuh kedua-dua bulatan itu masing-masing pada satu titik sahaja.
 
1.   Bersilang di dua titik
(a) Bulatan sama saiz


Bilangan Tangen Sepunya
Sifat-sifat Tangen Sepunya
Dua tangen sepunya:
AB dan CD
AC = BD
AB = CD
AB selari dengan OR selari dengan CD


(b) Bulatan saiz berbeza


Bilangan Tangen Sepunya
Sifat-sifat Tangen Sepunya
Dua tangen sepunya:
ABE dan CDE
AB = CD
BE = DE
OA // RB
OC // RD

2.  Bersilang di satu titik
(a) Bulatan sama saiz


Bilangan Tangen Sepunya
Sifat-sifat Tangen Sepunya
Tiga tangen sepunya:
AB, CD dan PQ
AC = PQ = BD
AB = OR = CD
AB // OR // CD
AC // PQ // BD
PQ berserenjang dengan OR
 
(b) Bulatan saiz berbeza
(i) Bersentuh di luar bulatan



Bilangan Tangen Sepunya
Sifat-sifat Tangen Sepunya
Tiga tangen sepunya:
ABE, CDE dan PQ
AB = CD
BE = DE
OA // RB
OC // RD
PQ berserenjang dengan ORE
 
(ii) Bersentuh di dalam bulatan


Bilangan Tangen Sepunya
Sifat-sifat Tangen Sepunya
Satu tangen sepunya:
PQR
ONQ berserenjang dengan PR


3.   Tidak bersilang
     (a) Bulatan sama saiz


Bilangan Tangen Sepunya
Sifat-sifat Tangen Sepunya
Empat tangen sepunya:
AB, CD, PS and RQ
AB = CD = OV
PS = RQ
AB // OV // CD
 
     (b) Bulatan saiz berbeza


Bilangan Tangen Sepunya
Sifat-sifat Tangen Sepunya
Empat tangen sepunya:
AB, CD, PS dan RQ
AB = CD
BT = DT
PS = RQ
OA // VB
OC // VD

Bab 8 Bulatan III


8.2.1 Sudut di antara Tangen dengan Perentas (Contoh Soalan)
 
Contoh 2:
Dalam rajah, PQR ialah tangen kepada bulatan QSTU di titik Q.
 

Cari nilai bagi y.

Penyelesaian:
QUT = 180o– 98o (sudut bertentangan dalam sisi empat kitaran QSTU)
= 82o
QTU = 75o  (sudut dalam tembereng selang-seli)
Oleh itu = 180o – (82o + 75o (Jumlah sudut dalaman ∆ QTU)
= 23o



Contoh 3:
Dalam rajah, PQR ialah tangen kepada bulatan QSTU di titik Q.
 
Cari nilai bagi
(a)  x    
(b) y

Penyelesaian:
(a)
UTS + ∠UQS = 180o  ← (sudut bertentangan dalam sisi empat kitaran QSTU)
105o + ∠UQS = 180o
UQS = 75o

+ 75o + 20o = 180o  ← (Jumlah sudut garis lurus PQR = 180o)
+ 95o = 180o
x = 85o
 
(b)
PQU = ∠QSU  ← (sudut dalam tembereng selang-seli)
85o = 35o + y
y = 50o



Contoh 4:


Dalam rajah, ABC ialah tangen kepada bulatan BDE dengan pusat O, di titik B.
Cari nilai bagi x.

Penyelesaian:
 

B E D = C B D = 54 B D E = 180 54 2 = 63 Segi tiga kaki sama E B D = E D B

ABE = ∠BDE = 63o
Dalam ∆ABE,
xo + 45o + 63o = 180o
xo + 108o = 180o
x = 72