Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 8, 2020 by Myhometuition

5.3.2b Melakar Graf Fungsi Trigonometri (Bahagian 2)

Contoh:

Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri yang berikut untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

(g) y = –sin x
(h) y = –kos x

(i) y = | sin x |
(j) y = | kos x |

(k) y = tan 2x

Penyelesaian:

(g) y = –sin x

(h) y = –kos x

(i) y = | sin x |

(j) y = | kos x |

(k) y = tan 2x

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 19 (4 markah):
Diberi bahawa kos α = t dengan keadaan t ialah pemalar dan 0^o≤ α ≤ 90^o.
Ungkapkan dalam sebutan t
(a) sin (180^o + α),
(b) sek 2α.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} sin (180^{o} + α) \\ = \sin 180 k o s α + k o s 180 \sin α \\ = 0 - \sin α \\ = - \sin α \\ = - \sqrt{1 - t^{2}} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} sek 2 α = \frac{1}{k o s 2 α} \\ = \frac{1}{2 k o s^{2} α - 1} \\ = \frac{1}{2 t^{2} - 1} \end{array}$

5.8.4 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:

(a) Buktikan

$\frac{2 \tan x}{2 - {sek}^{2} x} = \tan 2 x .$

(b) (i) Lakar graf y = – tan 2x untuk 0 ≤ x ≤ π.
(b) (ii) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan

$\frac{3 x}{π} + \frac{2 \tan x}{2 - {sek}^{2} x} = 0$ untuk 0 ≤ x ≤ π.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} \frac{2 \tan x}{2 - {sek}^{2} x} = \tan 2 x \\ Sebelah kiri: \\ \frac{2 \tan x}{2 - {sek}^{2} x} = \frac{2 \tan x}{2 - (1 + \tan^{2} x)} \\ = \frac{2 \tan x}{2 - \tan^{2} x} \\ = \tan 2 x (Sebelah kanan) \end{array}$

(b)(i)

(b)(ii)

$\begin{array}{l} \frac{3 x}{π} + \frac{2 \tan x}{2 - {sek}^{2} x} = 0 \\ \frac{3 x}{π} + \tan 2 x = 0 \leftarrow dari (a) \\ - \tan 2 x = \frac{3 x}{π} \\ y = \frac{3 x}{π} \\ Graf yang sesuai dilakar ialah y = \frac{3 x}{π} . \end{array}$

Apabila x = 0, y = 0

Apabila x = π, y = 3

Bilangan penyelesaian = 3

5.8.3 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 4 (10 markah):
(a) Buktikan bahawa 2 tan x kos² x = sin 2x.
(b) Seterusnya, selesaikan persamaan 4 tan x kos² x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(c)(i) Lakar graf y = sin 2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(c)(ii) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 4π tan x kos² x = x – 2π untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} 2 \tan x k o s^{2} x = \sin 2 x \\ Sebelah kiri \\ = 2 \tan x k o s^{2} x \\ = 2 \times \frac{\sin x}{k o s x} \times k o s^{2} x \\ = 2 \sin x k o s x \\ = \sin 2 x \\ = Sebelah kanan (Terbukti) \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} 4 \tan x k o s^{2} x = 1, 0 \leq x \leq 2 π \\ 2 (2 \tan x k o s^{2} x) = 1 \\ 2 \sin 2 x = 1 \\ \sin 2 x = \frac{1}{2} \\ Sudut asas = \frac{π}{6} \\ 2 x = \frac{π}{6}, (π - \frac{π}{6}), (2 π + \frac{π}{6}), (3 π - \frac{π}{6}) \\ 2 x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{13 π}{6}, \frac{17 π}{6} \\ x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12} \end{array}$

(c)(i)
y = sin 2x, 0 ≤ x ≤ 2π.

(c)(ii)

$\begin{array}{l} 4 π \tan x k o s^{2} x = x - 2 π \\ 2 π (2 \tan x k o s^{2} x) = x - 2 π \\ 2 π \sin 2 x = x - 2 π \\ \sin 2 x = \frac{x}{2 π} - \frac{2 π}{2 π} \\ \sin 2 x = \frac{x}{2 π} - 1 \\ y = \frac{x}{2 π} - 1 \end{array}$

Bilangan penyelesaian = 4

5.8.2 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 3 (10 markah):

$\begin{array}{l} (a) Buktikan \sin (3 x + \frac{π}{6}) - \sin (3 x - \frac{π}{6}) = k o s 3 x \\ (b) Seterusnya, \\ (i) selesaikan persamaan s i n (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{6}) - \sin (\frac{3 x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2} untuk 0 \leq x \leq 2 π \\ dan beri jawapan anda dalam bentuk pencahan termudah dalam sebutan π radian, \\ (i i) lakar graf bagi y = s i n (3 x + \frac{π}{6}) - \sin (3 x - \frac{π}{6}) - \frac{1}{2} untuk 0 \leq x \leq π . \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} (a) Sebelah kiri, \\ \sin (3 x + \frac{π}{6}) - \sin (3 x - \frac{π}{6}) \\ = [\sin 3 x k o s \frac{π}{6} + k o s 3 x \sin \frac{π}{6}] - [\sin 3 x k o s \frac{π}{6} - k o s 3 x \sin \frac{π}{6}] \\ = 2 [k o s 3 x \sin \frac{π}{6}] \\ = 2 [k o s 3 x (\frac{1}{2})] \\ = k o s 3 x (sebelah kanan) \end{array}$

$\begin{array}{l} (b) (i) \\ \sin (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{6}) - \sin (\frac{3 x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 2 π \\ k o s \frac{3 x}{2} = \frac{1}{2} \\ \frac{3 x}{2} = \frac{π}{3}, (2 π - \frac{π}{3}), (2 π + \frac{π}{3}) \\ \frac{3 x}{2} = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}, \frac{7 π}{3} \\ x = \frac{2 π}{9}, \frac{10 π}{9}, \frac{14 π}{9} \end{array}$

$\begin{array}{l} (b) (i i) \\ y = s i n (3 x + \frac{π}{6}) - \sin (3 x - \frac{π}{6}) - \frac{1}{2} untuk 0 \leq x \leq π . \\ y = k o s 3 x - \frac{1}{2} \end{array}$

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 16, 2016 by user

5.6.4 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri (Melibatkan Rumus Penambahan dan Rumus bagi Sudut Berganda)

Contoh 1 (Rumus penambahan):

Selesaikan persamaan yang berikut untuk 0^o ≤ x ≤ 360^o:

(a) sin ( x – 25^o) = 3 sin ( x + 25^o)

(b) 3 kos (2x + 10^o) = 2

Penyelesaian:

(a)

sin ( x – 25^o) = 3 sin ( x + 25^o)

sin x kos 25^o – kos x sin 25^o = 3 (sin x kos 25^o + kos x sin 25^o)

sin x kos 25^o – kos x sin 25^o = 3 sin x kos 25^o + 3 kos x sin 25^o

– sin x kos 25^o = 4 kos x sin 25^o

$\frac{\sin x}{k o s x} = - \frac{4 \sin 25^{\circ}}{2 k o s 25^{\circ}}$

tan x = – 2 tan 25^o

tan x = – 2 (0.4663)

tan x = – 0.9326

Sudut asas x = 43^o

Sudut yang dirujuk x = 43^o berada di sukuan kedua dan keempat.

Oleh itu, x = 180^o– 43^o, 360^o– 43^o

x = 137^o, 317^o

(b)

3 kos (2x + 10^o) = 2 ← (Ambil julat sudut dalam 0^o ≤ x ≤ 720^o, bagi 2 putaran lengkap)

kos ( 2x + 10^o) = ⅔

Sudut asas ( 2x + 10^o) = 48.19^o

2x + 10^o = 48.19^o, 360^o– 48.19^o, 360^o+ 48.19^o, 720^o– 48.19^o

2x + 10^o = 48.19^o, 311.81^o, 408.19^o, 671.81^o

2x = 38.19^o, 301.81^o, 398.19^o, 661.81^o

x = 19.10^o, 150.91^o, 199.10^o, 330.91^o

Contoh 2 (Rumus sudut berganda):

Cari semua sudut yang memuaskan 5 kos 2A + 9 sin A = 7, 0° < A < 360°.

Penyelesaian:

5 kos 2A + 9 sin A = 7

5 (1 – 2 sin²A) + 9 sin A = 7 ← (ganti kos 2A = 1 – 2sin² A, seluruh persamaan sekarang dalam sebutan sin A)

5 – 10 sin²A + 9 sin A – 7 = 0

– 10 sin²A + 9 sin A – 2 = 0

10 sin²A – 9 sin A + 2 = 0

(2 sin A – 1)(5 sin A – 2) = 0

sin A = ½ = 0.5 atau sin A =

$\frac{2}{5}$ = 0.4

Apabila sin A = 0.5,

Sudut asas A = 30º

A = 30º, 180º – 30º

A = 30º, 150º

Apabila sin A = 0.4,

Sudut asas A = 23.58º

A = 23.58º, 180º – 23.58º

A = 23.58º, 156.42º

Oleh itu A = 23.58º, 30º, 150º, 156.42º.

Contoh 3 (Rumus sudut berganda):

Cari semua sudut θ antara 0 dan 2π rad yang memuaskan persamaan sin 2θ = sin θ

Penyelesaian:

sin 2θ = sin θ

2 sin θ kos θ = sin θ ← (sin 2θ = 2 sin θ kos θ)

2 sin θ kosθ – sin θ = 0

sin θ (2 kos θ – 1) = 0 ← (Pemfaktoran)

sin θ = 0 atau 2 kos θ – 1 = 0

Apabila sin θ = 0

θ = 0, π, 2π

Apabila 2 kos θ – 1= 0

kos θ = ½

$\begin{array}{l} θ = \frac{1}{3} π, \frac{5}{3} π \\ Oleh itu, θ = 0, \frac{1}{3} π, π, \frac{5}{3} π, 2 π . \end{array}$

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 16, 2016 by user

5.8.1 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

(a) Lakar graf y = kos 2x untuk 0^o ≤ x ≤ 180^o.

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan

$2 {sin}^{2} x = 2 - \frac{x}{180}$ untuk 0^o ≤ x ≤ 180^o.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:

(a)(b)

(b)

$\begin{array}{l} 2 {sin}^{2} x = 2 - \frac{x}{180} \\ 1 - 2 {sin}^{2} x = 1 - (2 - \frac{x}{180}) \\ k o s 2 x = \frac{x}{180} - 1 \\ y = \frac{x}{180} - 1 \end{array}$

x = 0, y = –1

x = 180, y = 0

Bilangan penyelesaian = 2

Soalan 2:

(a) Lakar graf

$y = \frac{3}{2} k o s 2 x untuk 0 \leq x \leq \frac{3}{2} π .$

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan

$\frac{4}{3 π} x - k o s 2 x = \frac{3}{2} untuk 0 \leq x \leq \frac{3}{2} π$

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:

(a)(b)

(b)

$\begin{array}{l} \frac{4}{3 π} x - k o s 2 x = \frac{3}{2} \\ k o s 2 x = \frac{4}{3 π} x - \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} k o s 2 x = \frac{3}{2} (\frac{4}{3 π} x - \frac{3}{2}) \\ y = \frac{2}{π} x - \frac{9}{4} \\ Untuk melakar graf y = \frac{2}{π} x - \frac{9}{4} \\ x = 0, y = - \frac{9}{4} \\ x = \frac{3 π}{2}, y = \frac{3}{4} \end{array}$

Bilangan penyelesaian

= bilangan titik persilangan

= 3

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 16, 2016 by user

5.2.2 Sudut Khas

1. Nilai fungsi trigonometri bagi sudut-sudut khas

(a) Nilai bagi sudut khas 30^odan 60^o

$\begin{array}{l} (a) \sin 30^{o} = \frac{1}{2} (b) k o s 30^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2} (c) t a n 30^{o} = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ (d) \sin 60^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2} (e) k o s 60^{o} = \frac{1}{2} (f) t a n 60^{o} = \sqrt{3} \end{array}$

(b) Nilai bagi sudut khas 45^o

$(a) \sin 45^{o} = \frac{1}{\sqrt{2}} (b) k o s 45^{o} = \frac{1}{\sqrt{2}} (c) t a n 45^{o} = 1$

(c) Nilai bagi sudut khas 0^o, 90^o, 180^o ,270^o ,360^o(i) Graf y = sin x, 0^o ≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
sin	0	1	0	-1	0

(ii) Graf y = kos x, 0^o ≤ x ≤ 360^o

(iii) Graf y = tan x, 0^o ≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
tan	0	∞	0	∞	0

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 16, 2016 by user

5.7.6 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 15:

Buktikan identiti

$\frac{2}{k o s 2 A + 1} = s e k^{2} A$

Peneyelesaian:

$\begin{array}{l} Sebelah kiri \\ = \frac{2}{k o s 2 A + 1} \\ = \frac{2}{(2 k o s^{2} A - 1) + 1} \leftarrow k o s 2 A = 2 k o s^{2} A - 1 \\ = \frac{2}{2 k o s^{2} A} = \frac{1}{k o s^{2} A} \\ = s e k^{2} A \\ = Sebelah kanan \end{array}$

Soalan 16:

Buktikan identiti

$\frac{2 \tan A}{2 - s e k^{2} A} = \tan 2 A$

Peneyelesaian:

$\begin{array}{l} Sebelah kiri \\ = \frac{2 \tan A}{2 - s e c^{2} A} \\ = \frac{2 \tan A}{2 - (\tan^{2} A + 1)} \leftarrow \tan^{2} A + 1 = s e c^{2} A \\ = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^{2} A} \\ = \tan 2 A \\ = Sebelah kanan \end{array}$

Soalan 17:

Buktikan identiti tan x + kot x = 2 kosek 2x

Peneyelesaian:

Sebelah kiri,

tan x + kot x

$\begin{array}{l} = \frac{\sin x}{k o s x} + \frac{k o s x}{\sin x} \\ = \frac{\sin^{2} x + k o s^{2} x}{k o s x \sin x} \\ = \frac{1}{k o s x \sin x} \leftarrow \sin^{2} x + k o s^{2} x = 1 \\ = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2 x} \leftarrow \begin{array}{l} \sin 2 x = 2 \sin x k o s x \\ \frac{1}{2} \sin 2 x = \sin x k o s x \end{array} \\ = \frac{2}{\sin 2 x} \\ = 2 (\frac{1}{\sin 2 x}) \\ = 2 k o s e k 2 x \\ = Sebelah kanan \end{array}$

Soalan 18:

Buktikan identiti

$\frac{k o s x - \sin 2 x}{k o s 2 x + \sin x - 1} = \frac{1}{\tan x}$

Peneyelesaian:

$\begin{array}{l} Sebelah kiri \\ \frac{k o s x - \sin 2 x}{k o s 2 x + \sin x - 1} \\ = \frac{k o s x - 2 \sin x k o s x}{(1 - 2 \sin^{2} x) + \sin x - 1} \leftarrow k o s 2 x = 1 - 2 \sin^{2} x \\ = \frac{k o s x (1 - 2 \sin x)}{\sin x - 2 \sin^{2} x} \\ = \frac{k o s x (1 - 2 \sin x)}{\sin x (1 - 2 \sin x)} \\ = \frac{k o s x}{\sin x} \\ = k o t x \\ = \frac{1}{\tan x} \\ Sebelah kanan \end{array}$

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 16, 2016 by user

5.7.5 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 11:

Buktikan identiti

$\frac{k o s^{2} x}{1 - \sin x} = 1 + \sin x$

Peneyelesaian:

$\begin{array}{l} Sebelah kiri \\ = \frac{k o s^{2} x}{1 - \sin x} \\ = \frac{1 - \sin^{2} x}{1 - \sin x} \leftarrow \sin^{2} x + k o s^{2} x = 1 \\ = \frac{(1 + \sin x) (1 - \sin x)}{1 - \sin x} \\ = 1 + \sin x \\ = Sebelah kanan \end{array}$

Soalan 12:

Buktikan identiti

$\sin^{2} x - k o s^{2} x = \frac{\tan^{2} x - 1}{\tan^{2} x + 1}$

Peneyelesaian:

$\begin{array}{l} Sebelah kanan \frac{\tan^{2} x - 1}{\tan^{2} x + 1} \\ = \frac{\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} - 1}{\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} + 1} \leftarrow \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \\ = \frac{\frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{\cos^{2} x}}{\frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\cos^{2} x}} \\ = \frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{\sin^{2} x + \cos^{2} x} \\ = \sin^{2} x - \cos^{2} x \leftarrow \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \\ = Sebelah kiri \end{array}$

Soalan 13:

Buktikan identiti tan²θ – sin² θ = tan²θ sin² θ

Peneyelesaian:

$\begin{array}{l} Sebelah kiri \\ = \tan^{2} θ - \sin^{2} θ \\ = \frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} - \sin^{2} θ \\ = \frac{\sin^{2} θ - \sin^{2} θ \cos^{2} θ}{\cos^{2} θ} \\ = \frac{\sin^{2} θ (1 - \cos^{2} θ)}{\cos^{2} θ} \\ = \frac{\sin^{2} θ \sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} \\ = (\frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ}) (\sin^{2} θ) \\ = \tan^{2} θ \sin^{2} θ \\ = Sebelah kanan \end{array}$

Soalan 14:

Buktikan identiti kosek²θ (sek² θ – tan² θ) – 1 = kot² θ

Peneyelesaian:

Sebelah kiri,

kosek²θ (sek²θ – tan² θ) – 1

= kosek²θ (1) – 1 ← (tan² θ + 1 = sek²θ

sek² θ – tan²θ = 1)

= kosek²θ – 1

= kot²θ ←(1 + kot² θ = kosek² θ

kosek² θ – 1 = kot² θ )

= Sebelah kanan