Bab 9 Pembezaan

Posted on June 9, 2020 by Myhometuition

Bab 9 Pembezaan

9.2.1 Terbitan Pertama untuk Fungsi Polinomial (Contoh)

Contoh:

Cari dy/dx bagi setiap fungsi yang berikut:

(a) y = 12

(b) y = x⁴

(d) y = 5x³

$\begin{array}{l} (e) y = \frac{1}{x} \\ (f) y = \frac{2}{x^{4}} \\ (g) y = \frac{2}{5 x^{2}} \\ (h) y = 3 \sqrt{x} \\ (i) y = 4 \sqrt{x^{3}} \end{array}$

Penyelesaian:

(a) y = 12

dy/dx = 0

(b) y = x⁴

dy/dx = 4x³

(c) y = 3x

dy/dx = 3

(d) y = 5x³

dy/dx = 15x²

(e)

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{x} = x^{- 1} \\ \frac{d y}{d x} = - x^{- 1 - 1} = - \frac{1}{x^{2}} \end{array}$

(f)

$\begin{array}{l} y = \frac{2}{x^{4}} = 2 x^{- 4} \\ \frac{d y}{d x} = - 4 (2 x^{- 4 - 1}) \\ = - 8 x^{- 5} = - \frac{8}{x^{5}} \end{array}$

(g)

$\begin{array}{l} y = \frac{2}{5 x^{2}} = \frac{2 x^{- 2}}{5} \\ \frac{d y}{d x} = - 2 (\frac{2 x^{- 2 - 1}}{5}) \\ = - \frac{4 x^{- 3}}{5} \\ = - \frac{4}{5 x^{3}} \end{array}$

(h)

$\begin{array}{l} y = 3 \sqrt{x} = 3 {(x)}^{\frac{1}{2}} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} (3 x^{\frac{1}{2} - 1}) \\ = \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{3}{2 \sqrt{x}} \end{array}$

(i)

$\begin{array}{l} y = 4 \sqrt{x^{3}} = 4 {(x^{3})}^{\frac{1}{2}} = 4 x^{\frac{3}{2}} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} (4 x^{\frac{3}{2} - 1}) \\ = 6 x^{\frac{1}{2}} = 6 \sqrt{x} \end{array}$

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 9, 2020 by Myhometuition

9.4.1 Pembezaan Peringkat Kedua, Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik Minimum (Contoh)

Contoh 1 (Nilai Maksimum suatu fungsi kuadratik)

Diberi bahawa y = 3x (4 – x), hitungkan

(a) nilai x apabila y adalah maksimum,

(b) nilai maksimum y.

Penyelesaian:

y = 3x (4 – x)

y = 12x – 3x²

$\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = 12 - 6 x \\ Apabila y ialah maksimum, \frac{d y}{d x} = 0 \end{array}$

0 = 12 – 6x

x = 2

y = 12x – 3x²

apabila x = 2,

y = 12 (2) – 3 (2)²

y = 12

Contoh 2 (Menentukan titik pusingan dan ujian terbitan kedua)

Cari koordinat titik-titik pusingan bagi lengkung y = 2x³+ 3x²– 12x + 7 dan tentukan jenis titik itu.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 7 \\ \frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + 6 x - 12 \\ di titik pusingan, \frac{d y}{d x} = 0 \end{array}$

6x² + 6x – 12 = 0

x² + x – 2 = 0

(x – 1) (x + 2) = 0

x = 1 atau x = –2

apabila x = 1

y = 2 (1)³ + 3 (1)² – 12 (11) + 7

y = 0

(1, 0) ialah suatu titik pusingan.

apabila x = –2

y = 2 (–2)³ + 3 (–2)² – 12 (–2) + 7

y = 27

(-2, 27) ialah suatu titik pusingan.

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 x + 6 \\ Apabila x = 1, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 (1) + 6 = 18 > 0 (positif) \\ Oleh itu, titik pusingan (1, 0) adalah titik minimum . \end{array}$

$\begin{array}{l} Apabila x = - 2, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 (- 2) + 6 = - 18 < 0 (negatif) \\ Oleh itu, titik pusingan (-2, 27) adalah titik maksimum . \end{array}$

9.8.5 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (6 markah):
Rajah 4 menunjukkan pandangan hadapan sebahagian daripada laluan ‘roller coaster’ di sebuah taman replika.

Bahagian lengkung laluan ‘roller coaster’ itu diwakili oleh persamaan

$y = \frac{1}{64} x^{3} - \frac{3}{16} x^{2}$ , dengan titik A sebagai asalan.
Cari jarak tegak terpendek, dalam m, dari laluan itu ke aras tanah.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{64} x^{3} - \frac{3}{16} x^{2} ............... (1) \\ \frac{d y}{d x} = 3 (\frac{1}{64}) x^{2} - 2 (\frac{3}{16}) x^{1} \\ = \frac{3}{64} x^{2} - \frac{3}{8} x \\ Pada titik pusingan, \frac{d y}{d x} = 0 \\ \frac{3}{64} x^{2} - \frac{3}{8} x = 0 \\ x (\frac{3}{64} x - \frac{3}{8}) = 0 \\ x = 0 atau \\ \frac{3}{64} x - \frac{3}{8} = 0 \\ \frac{3}{64} x = \frac{3}{8} \\ x = \frac{3}{8} \times \frac{64}{3} \\ x = 8 \\ Gantikan nilai-nilai x ke dalam (1): \\ Apabila x = 0, \\ y = \frac{1}{64} {(0)}^{3} - \frac{3}{16} {(0)}^{2} \\ y = 0 \\ Apabila x = 8, \\ y = \frac{1}{64} {(8)}^{3} - \frac{3}{16} {(8)}^{2} \\ y = - 4 \\ Oleh itu, titik-titik pusingan : (0, 0) dan (8, - 4) \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{64} x^{2} - \frac{3}{8} x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 (\frac{3}{64}) x - \frac{3}{8} \\ = \frac{3}{32} x - \frac{3}{8} \\ Apabila x = 0, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{3}{32} (0) - \frac{3}{8} \\ = - \frac{3}{8} (< 0) \\ (0, 0) ialah titik maksimum . \\ Apabila x = 8, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{3}{32} (8) - \frac{3}{8} \\ = \frac{3}{8} (> 0) \\ (8, - 4) ialah titik minimum . \\ Jarak tegak terpendek dari laluan ke aras tanah \\ adalah pada titik minimum . \\ Jarak tegak terpendek \\ = 5 - 4 \\ = 1 m \end{array}$

9.8.4 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 7:
Diberi persamaan suatu lengkung ialah y = 2x (1 – x)⁴ dan lengkung itu melalui T (2, 4).
Cari
(a) kecerunan lengkung pada titik T.
(b) persamaan garis normal kepada lengkung pada titik T.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} y = 2 x {(1 - x)}^{4} \\ \frac{d y}{d x} = 2 x \times 4 {(1 - x)}^{3} (- 1) + {(1 - x)}^{4} \times 2 \\ = - 8 x {(1 - x)}^{3} + 2 {(1 - x)}^{4} \\ Pada T (2, 4), x = 2. \\ \frac{d y}{d x} = - 16 (- 1) + 2 (1) \\ = 16 + 2 \\ = 18 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} Persamaan normal kepada lengkung: \\ y - y_{1} = - \frac{1}{\frac{d y}{d x}} (x - x_{1}) \\ y - 4 = - \frac{1}{18} (x - 2) \\ 18 y - 72 = - x + 2 \\ x + 18 y = 74 \end{array}$

Soalan 8 (7 markah):
Diberi bahawa persamaan suatu lengkung ialah

$y = \frac{5}{x^{2}} .$
(a) Cari nilai

$\frac{d y}{d x}$ apabila x = 3.
(b) Seterusnya, anggarkan nilai bagi

$\frac{5}{{(2.98)}^{2}} .$

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} y = \frac{5}{x^{2}} = 5 x^{- 2} \\ \frac{d y}{d x} = - 10 x^{- 3} \\ = - \frac{10}{x^{3}} \\ Apabila x = 3 \\ \frac{d y}{d x} = - \frac{10}{3^{3}} = - \frac{10}{27} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} δ x = 2.98 - 3 = - 0.02 \\ δ y = \frac{d y}{d x} . δ x \\ = - \frac{10}{27} \times (- 0.02) \\ = 0.007407 \\ Nilai bagi \frac{5}{{(2.98)}^{2}} \\ = y + δ y \\ = \frac{5}{x^{2}} + (0.007407) \\ = \frac{5}{3^{2}} + (0.007407) \\ = 0.56296 \end{array}$

9.8.3 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:

Suatu wayar dengan panjang 88cm dibengkokkan untuk membentuk satu bulatan. Apabila wayar dipanaskan, panjangnya bertambah dengan kadar 0.3cms^-1.

(a) Hitung kadar perubahan jejari bulatan.

(b) Seterusnya, hitung jejari bulatan selepas 5s.

Penyelesaian:

Panjang lilitan bulatan,

L = 2πj

$\frac{d L}{d r} = 2 π$

(a)

$\begin{array}{l} Diberi \frac{d L}{d t} = 0.3 \\ Kadar perubahan jejari bulatan = \frac{d j}{d t} \\ \frac{d j}{d t} = \frac{d j}{d L} \times \frac{d L}{d t} \\ \frac{d j}{d t} = \frac{1}{2 π} \times 0.3 \\ \frac{d j}{d t} = 0.0477 {cms}^{- 1} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} 2 π j = 88 \\ j = \frac{88}{2 π} = \frac{44}{π} \\ Oleh itu, jejari bulatan selepas 5 s \\ = \frac{44}{π} + 5 (0.0477) \\ = 14.24 cm \end{array}$

Soalan 6:
Diberi persamaan suatu lengkung ialah:
y = x² (x – 3) + 1
(a) Cari kecerunan lengkung itu apabila x = –1.
(b) Cari koordinat-koordinat titik pusingan.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} y = x^{2} (x - 3) + 1 \\ y = x^{3} - 3 x^{2} + 1 \\ \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 6 x \\ Apabila x = - 1 \\ \frac{d y}{d x} = 3 {(- 1)}^{2} - 6 (- 1) \\ = 9 \\ Keceruan lengkung ialah 9 . \end{array}$

(b)
Pada titik pusingan,

$\frac{d y}{d x} = 0$
3x² – 6x = 0
x² – 2x = 0
x (x – 2) = 0
x = 0, 2

y = x² (x – 3) + 1
Apabila x = 0, y = 1
Apabila x = 2,
y = 2² (2 – 3) + 1
y = 4 (–1) + 1 = –3
Maka, koordinat bagi titik-titik pusingan ialah (0, 1) dan (2, –3).

9.7.7 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 21:

Jika jejari bagi suatu bulatan menokok daripada 4cm kepada 4.01cm, cari perubahan kecil dalam luas.

Penyelesaian:

Luas bulatan, L= πj²

$\begin{array}{l} \frac{d A}{d r} = 2 π r \\ Perubahan kecil dalam luas kepada jejari, \\ \frac{δ A}{δ r} \approx \frac{d A}{d r} \\ δ A = \frac{d A}{d r} \times δ r \end{array}$

δA = (2πj) × (4.01 – 4)

δA = [2π (4)] × (0.01)

δA = 0.08π cm²

Soalan 22 (3 markah):
Cari nilai bagi

$\begin{array}{l} (a) \underset{x \to 1}{had} (7 - x^{2}), \\ (b) f'' (2) jika f' (x) = 2 x^{3} - 4 x + 3. \end{array}$

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} \underset{x \to 1}{h a d} (7 - x^{2}) \\ = 7 - {(1)}^{2} \\ = 6 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} f' (x) = 2 x^{3} - 4 x + 3 \\ f'' (x) = 6 x^{2} - 4 \\ f'' (2) = 6 {(2)}^{2} - 4 \\ = 24 - 4 \\ = 20 \end{array}$

Soalan 23 (4 markah):
Diberi bahawa L = 4t – t² dan x = 3 + 6t.
(a) Ungkapkan

$\frac{d L}{d x}$ dalam sebutan t.
(b) Cari perubahan kecil bagi x, apabila L berubah daripada 3 kepada 3.4 pada ketika t = 1.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} Diberi L = 4 t - t^{2} dan x = 3 + 6 t \\ L = 4 t - t^{2} \\ \frac{d L}{d t} = 4 - 2 t \\ x = 3 + 6 t \\ \frac{d x}{d t} = 6 \\ \frac{d L}{d x} = \frac{d L}{d t} \times \frac{d t}{d x} \\ \frac{d L}{d x} = (4 - 2 t) \times \frac{1}{6} \\ = \frac{4 - 2 t}{6} \\ = \frac{2 - t}{3} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} δ L = 3.4 - 3 = 0.4 \\ \frac{δ L}{δ x} \approx \frac{d L}{d x} \\ δ x = δ L \div \frac{δ L}{δ x} \\ δ x = δ L \times \frac{δ x}{δ L} \\ = 0.4 \times \frac{3}{2 - t} \\ = \frac{2}{5} \times \frac{3}{2 - t} \\ = \frac{6}{5 (2 - t)} \\ Apabila t = 1, \\ δ x = \frac{6}{5 (2 - 1)} = \frac{6}{5} \end{array}$

9.7.6 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 18:

Garis normal kepada lengkung y = x² + 3x pada titik P adalah selari dengan garis lurus y = –x + 12. Cari persamaan garis normal kepada lengkung itu pada titik P.

Penyelesaian:

Diberi normal kepada lengkung di titik P adalah selari kepada garis lurus y = –x + 12.

Maka, kecerunan normal lengkung itu = –1.

Seterusnya, kecerunan tangen kepada lengkung = 1

y = x² + 3x

dy/dx = 2x + 3

2x + 3 = 1

2x = –2

x = –1

y = (–1)²+ 3(–1)

y = –2

Titik P = (–1, –2).

Persamaan garis normal kepada lengkung itu pada titik P ialah,

y – (–2) = –1 (x – (–1))

y + 2 = – x – 1

y = – x – 3

Soalan 19:

Diberi

$y = \frac{3}{4} x^{2}$ , cari perubahan kecil dalam x yang akan menyebabkan y menyusut daripada 48 kepada 47.7.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} y = \frac{3}{4} x^{2} \\ \frac{d y}{d x} = (2) \frac{3}{4} x = \frac{3}{2} x \\ δ y = 47.7 - 48 = - 0.3 \\ perubahan kecil dalam x kepada y \\ \frac{δ x}{δ y} \approx \frac{d x}{d y} \\ δ x = \frac{d x}{d y} \times δ y \\ δ x = \frac{2}{3 x} \times (- 0.3) \\ δ x = \frac{2}{3 (8)} \times (- 0.3) \leftarrow \begin{array}{l} y = 48 \\ \frac{3}{4} x^{2} = 48 \\ x^{2} = 64 \\ x = 8 \end{array} \\ δ x = - 0.025 \end{array}$

Soalan 20:

Isipada air, Icm³, dalam satu bekas diberi oleh

$I = \frac{1}{5} h^{3} + 7 h$ , dengan keadaan h cm ialah tinggi air dalam bekas itu. Air dituang ke dalam bekas itu dengan kadar 15cm³s^-1. Cari kadar perubahan tinggi air, dalam cms^-1, pada ketika tingginya ialah 3cm.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} I = \frac{1}{5} h^{3} + 7 h \\ \frac{d I}{d h} = \frac{3}{5} h^{2} + 7 \\ = \frac{3 h^{2} + 35}{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} Diberi \frac{d I}{d t} = 15, h = 3 \\ Kadar perubahan tinggi air = \frac{d h}{d t} \\ \frac{d h}{d t} = \frac{d h}{d I} \times \frac{d I}{d t} \leftarrow Petua rantai \\ \frac{d h}{d t} = \frac{5}{3 h^{2} + 35} \times 15 \\ \frac{d h}{d t} = \frac{75}{62} {cms}^{- 1} \end{array}$

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 9, 2016 by user

9.8 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Diberi

$y = 15 x + \frac{24}{x^{3}}$

(a) Cari nilai dy/dx apabila x = 2,

(b) Ungkapkan dalam sebutan k, perubahan kecil bagi y apabila x berubah daripada 2 kepada 2 + k, dengan keadaan k ialah satu nilai kecil.

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} y = 15 x + \frac{24}{x^{3}} \\ y = 15 x + 24 x^{- 3} \\ \frac{d y}{d x} = 15 - 72 x^{- 4} \\ \frac{d y}{d x} = 15 - \frac{72}{x^{4}} \\ Apabila x = 2 \\ \frac{d y}{d x} = 15 - \frac{72}{2^{4}} = 10.5 \end{array}$

(b)

Perubahan kecil bagi ykepada x dalam sebutan k,

$\begin{array}{l} \frac{δ y}{δ x} \approx \frac{d y}{d x} \\ δ y = \frac{d y}{d x} \times δ x \end{array}$

δy = 10.5 × (2 + k – 2)

δy = 10.5k

Soalan 2:

Diberi y =3t + 5t²dan x = 5t -1.

(a) Cari

$\frac{d y}{d x}$ dalam sebutan x,

(b) Jika x menokok daripada 5 kepada 5.01, cari perubahan kecil dalam t.

Penyelesaian:

y = 3t + 5t²

$\begin{array}{l} \frac{d y}{d t} = 3 + 10 t \\ x = 5 t - 1 \\ \frac{d x}{d t} = 5 \end{array}$

(a)

$\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x} \\ \frac{d y}{d x} = (3 + 10 t) \times \frac{1}{5} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{3 + 10 (\frac{x + 1}{5})}{5} \leftarrow \begin{array}{l} x = 5 t - 1 \\ t = \frac{x + 1}{5} \end{array} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{3 + 2 x + 2}{5} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{5 + 2 x}{5} \end{array}$

(b)

Perubahan kecil dalam t,

$\begin{array}{l} δ t = \frac{d t}{d x} \times δ x \\ δ t = \frac{1}{5} \times (5.01 - 5) \\ δ t = 0.002 \end{array}$

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 8, 2016 by user

9.7 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 19:

Diberi

$y = \frac{3}{4} x^{2}$ , cari perubahan kecil dalam x yang akan menyebabkan ymenyusut daripada 48 kepada 47.7.

Penyelesaian:

Soalan 20:

Isipada air, Icm³, dalam satu bekas diberi oleh

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} I = \frac{1}{5} h^{3} + 7 h \\ \frac{d I}{d h} = \frac{3}{5} h^{2} + 7 \\ = \frac{3 h^{2} + 35}{5} \end{array}$

Soalan 21:

Jika jejari bagi suatu bulatan menokok daripada 4cm kepada 4.01cm, cari perubahan kecil dalam luas.

Penyelesaian:

Luas bulatan, L= πj²

$\begin{array}{l} \frac{d A}{d r} = 2 π r \\ Perubahan kecil dalam luas kepada jejari, \\ \frac{δ A}{δ r} \approx \frac{d A}{d r} \\ δ A = \frac{d A}{d r} \times δ r \end{array}$

δA = (2πj) × (4.01 – 4)

δA = [2π (4)] × (0.01)

δA = 0.08π cm²

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 8, 2016 by user

9.6 Perubahan Kecil dan Penghampiran

δy = perubahan kecil dalam y
δx = perubahan kecil dalam x

1. Jika δx sangat kecil,

$\frac{δ y}{δ x}$ adalah penghampiran kepada

$\frac{d y}{d x} .$

$\begin{array}{l} \frac{δ y}{δ x} \approx \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow δ y \approx \frac{d y}{d x} \times δ x \end{array}$

Simbol ‘≈’ bermakna ‘hampir kepada’.

2. δx dan δy ialah dua kuantiti yang berasingan manakala

$\frac{d y}{d x}$ ialah satu kuantiti sahaja.

Contoh:

Diber bahawa y = 3x² + 2x – 4. Guna pembezaan untuk mencari perubahan kecil dalam y apabila x menokok daripada 2 kepada 2.02.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} y = 3 x^{2} + 2 x - 4 \\ \frac{d y}{d x} = 6 x + 2 \end{array}$

Perubahan kecil dalam yditandakan dengan δy manakala perubahan kecil dalam kuantiti kedua x ditandakan dengan δx.

$\begin{array}{l} \frac{δ y}{δ x} \approx \frac{d y}{d x} \\ δ y = \frac{d y}{d x} \times δ x \end{array}$

δy = (6x +2) × (2.02 – 2)

↑

(δx = x baru – x asal)

= (6(2) +2) × 0.02

↑

(gantikan x dengan nilai asal x, iaitu 2)

δy = 0.28

9.6 Perubahan Kecil dan Penghampiran

δy = perubahan kecil dalam y δx = perubahan kecil dalam x

δy = perubahan kecil dalam y
δx = perubahan kecil dalam x